Calcul infinitésimal Exemples

$k (x) = x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.9

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 1.10.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

$k'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{2 x}$ et $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.10.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.11

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.12

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2)) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.14

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.3.2

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)))$

Étape 2.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.13

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Étape 2.3.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \cdot 2))$

Étape 2.3.16

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{2 (e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$k'' (x) = \frac{6 (e^{2 x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$k'' (x) = \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.4.4

Divisez $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 (x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.6

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{2 (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

Étape 2.4.3.8

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} \cdot (2 e^{2 x})$

Étape 2.4.3.9

Associez $2$ et $\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 3)}{2} \cdot e^{2 x}$

Étape 2.4.3.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot e^{2 x}$

Étape 2.4.3.11

Associez $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$

Étape 2.4.3.12

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2}$

Étape 2.4.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 (1)}$

Étape 2.4.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{1}$

Étape 2.4.3.13.4

Divisez $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ par $1$ .

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$

Étape 2.4.3.14

Additionnez $3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ et $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

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Étape 2.4.3.14.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.2

Additionnez $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ et $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ .

$k'' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$k'' (x) = 6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.1.9

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

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Étape 4.1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 4.1.10.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $k (x)$ par rapport à $x$ est $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Étape 5.2

Déterminez un facteur commun $e^{2 x} x$ présent dans chaque terme.

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$

Étape 5.3

Remplacez $e^{2 x} x$ par $u$ .

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}} = 0$

Étape 5.4

Résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Placez $\frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$ du côté droit de l’équation en le soustrayant des deux côtés.

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez $2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ .

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Étape 5.4.2.1

Appliquez la règle de produit à $e x^{2 x}$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} {(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Étape 5.4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Étape 5.4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x$ .

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x (2)}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Étape 5.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x \cdot 2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Étape 5.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

Étape 5.4.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.3.1

Ajoutez $\frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ .

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} \cdot \frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.3

Associez $2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ et $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}})}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.5.1

Multipliez $e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ par $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.3.5.1.1

Déplacez $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x} + \frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.4

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 1 + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.6

Annulez le facteur commun à $8 x + 4$ et $4$ .

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Étape 5.4.3.5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.5.1.6.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 (x)}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2

Multipliez $x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ par $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.3.5.2.1

Déplacez $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} (x^{\frac{4 x + 1}{2}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1}{2} + \frac{4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.4

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 1 + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6

Annulez le facteur commun à $8 x + 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.5.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.5.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 (1)}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 \cdot 1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 2}{1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4.4

Divisez $4 x + 2$ par $1$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

Étape 5.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.6.1

Factorisez $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 5.6.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 5.6.1.1.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Étape 5.6.1.1.2

Déplacez $e^{2 x}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 5.6.1.4

Factorisez $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2}$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{2}) = 0$

Étape 5.6.2

Divisez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Étape 5.6.3

Simplifiez

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Étape 5.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Étape 5.8

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $e^{2 x}$ égal à $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Étape 5.8.2

Résolvez $e^{2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.8.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Étape 5.8.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.8.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.9

Définissez $x^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.9.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 5.9.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.9.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.9.2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.9.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.2.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.9.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.9.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.9.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.9.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.9.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 5.9.2.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 5.9.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.2.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 5.10

Définissez $2 x + \frac{3}{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.10.1

Définissez $2 x + \frac{3}{2}$ égal à $0$ .

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Étape 5.10.2

Résolvez $2 x + \frac{3}{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.10.2.1

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Étape 5.10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{3}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{3}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Étape 5.10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Étape 5.10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Étape 5.10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.10.2.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.10.2.2.3.2

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.10.2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 5.10.2.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 5.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{3}{4}$

Étape 5.12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x^{1}}}{2}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x}}{2}$

Étape 6.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{1}}$

Étape 9.3

Évaluez l’exposant.

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0}$

Étape 9.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{0}$

Étape 9.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11