Calcul infinitésimal Exemples

$k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.6.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.6.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.7

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.7.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.8

Multipliez $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 1.9

Associez.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 1.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 1.11

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 1.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 1.12

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 1.12.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Étape 1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 1.12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 1.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 1.12.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.15

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.17.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.17.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.18

Simplifiez les termes.

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Étape 1.18.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.18.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.18.3

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.18.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.18.5

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.18.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.18.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.19.1

Réécrivez $\frac{\ln (x)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.19.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.4

Associez $x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.5

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.6

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3 - 1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.6.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.6.4

Divisez $2$ par $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.7

Simplifiez $x^{1}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.15

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.16

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.1

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.16.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.16.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.16.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.16.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.16.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Étape 2.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Étape 2.18

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.19

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.21.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.21.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Étape 2.22

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.23

Pour écrire $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.24

Associez $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.26

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.27

Associez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $- 2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.28

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.29

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.30

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.30.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.30.2

Annulez le facteur commun.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.30.3

Réécrivez l’expression.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.30.4

Divisez $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Étape 2.31

Réécrivez $\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$ comme un produit.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.32

Multipliez $\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ par $\frac{1}{x^{3}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Étape 2.33

Simplifiez

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Étape 2.33.1

Appliquez la propriété distributive.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.33.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.33.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.2.1.2

Multipliez $- 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))$ .

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Étape 2.33.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.2.1.2.2

Simplifiez $3 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 2.33.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 3})}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.2.2

Soustrayez $3 x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.4

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.33.4.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.4.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.4.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4)}{2 x^{3}}$

Étape 2.33.5

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 2.33.6

Multipliez $x^{3}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.33.6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Étape 2.33.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Étape 2.33.6.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 2.33.6.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 2.33.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Étape 2.33.6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.33.6.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Étape 2.33.6.6.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.6

Associez les fractions.

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Étape 4.1.6.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.6.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.7

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.7.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.8

Multipliez $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Étape 4.1.9

Associez.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 4.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 4.1.11

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 4.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 4.1.12

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.12.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 4.1.12.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Étape 4.1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 4.1.12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 4.1.12.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.15

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.17.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.17.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.18

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.18.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.18.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.18.3

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.18.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.18.5

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.18.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.18.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.19.1

Réécrivez $\frac{\ln (x)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.19.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $k (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ par $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$

Étape 5.3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})} = e^{1}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.3.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{\frac{1}{2}} = e^{1}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = e$

Étape 5.3.5.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{1})}^{2}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Étape 5.3.5.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Étape 5.3.5.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(e^{1})}^{2}$

Étape 5.3.5.3.1.1.2

Simplifiez

$x = {(e^{1})}^{2}$

Étape 5.3.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{1})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = e^{1 \cdot 2}$

Étape 5.3.5.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = e^{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{\sqrt{x^{3}}}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez l’argument dans $\ln (\sqrt{x})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} \leq 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 6.5.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 6.5.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Étape 6.5.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \leq 0^{2}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Simplifiez

$x \leq 0^{2}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x \leq 0$

Étape 6.6

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.7

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 6.8

Résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.8.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.8.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 6.9

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = e^{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = e^{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{\ln ({(e^{2})}^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (e^{3}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.1.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $3$ de l’exposant.

$\frac{3 \ln (e) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.1.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.1.5

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{- 1}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Étape 9.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 e^{5}}$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 e^{5}}$

Étape 10

$x = e^{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = e^{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = e^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $e^{2}$ dans l’expression.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$k (e^{2}) = \frac{2 \ln (e)}{\sqrt{e^{2}}}$

Étape 11.2.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{e^{2}}}$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2}{\sqrt{e^{2}}}$

Étape 11.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$k (e^{2}) = \frac{2}{e}$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$(e^{2}, \frac{2}{e})$ est un maximum local

Étape 13