Calcul infinitésimal Exemples

$P (x) = \frac{- {0.1}^{2} + 100 x - 60}{4000 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 1 \cdot 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $60$ de $- 0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{4000 x}]$

Étape 1.1.3

Comme $\frac{1}{4000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{100 x - 60.01}{4000 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$ .

$\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 100 x - 60.01$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [100 x - 60.01] - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 x - 60.01$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 x$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Multipliez $100$ par $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $- 60.01$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60.01$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + 0) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $100$ et $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \cdot 100 - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $100$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 \cdot x - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.8

Associez les fractions.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$

Étape 1.3.8.2

Multipliez $\frac{1}{4000}$ par $\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$ .

$\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{4000 x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{100 x - (100 x) - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$\frac{100 x - 100 x - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 60.01$ .

$\frac{100 x - 100 x + 60.01}{4000 x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $100 x$ de $100 x$ .

$\frac{0 + 60.01}{4000 x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $0$ et $60.01$ .

$\frac{60.01}{4000 x^{2}}$

Étape 1.4.3

Factorisez $60.01$ à partir de $60.01$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 x^{2}}$

Étape 1.4.4

Factorisez $4000$ à partir de $4000 x^{2}$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 (x^{2})}$

Étape 1.4.5

Séparez les fractions.

$\frac{60.01}{4000} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.6

Divisez $60.01$ par $4000$ .

$0.0150025 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.7

Associez $0.0150025$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{0.0150025}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $0.0150025$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{0.0150025}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $0.0150025 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$P'' (x) = 0.0150025 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.4

Multipliez $- 2$ par $0.0150025$ .

$P'' (x) = - 0.030005 x^{- 3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$P'' (x) = - 0.030005 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 0.030005$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$P'' (x) = \frac{- 0.030005}{x^{3}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$P'' (x) = - \frac{0.030005}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{0.0150025}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6