Calcul infinitésimal Exemples

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Étape 1

Écrivez $- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Étape 2.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Étape 2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6

Différenciez.

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Étape 2.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 2.6.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 2.6.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Étape 2.6.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Étape 2.6.11.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6

Associez des termes.

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Étape 2.7.6.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.12

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.13

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.14

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.15

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 2.7.6.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Étape 2.7.6.17

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 6 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Étape 5.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Étape 5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Étape 5.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 5.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 5.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 5.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 5.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 5.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Étape 5.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 5.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6

Différenciez.

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Étape 5.1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5.1.6.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 5.1.6.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 5.1.6.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Étape 5.1.6.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.6.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Étape 5.1.6.11.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 5.1.7

Simplifiez

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Étape 5.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6

Associez des termes.

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Étape 5.1.7.6.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.12

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.13

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.14

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.15

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 5.1.7.6.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Étape 5.1.7.6.17

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Étape 6.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 6.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 6.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Étape 10.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 10.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 10.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 + 2$

Étape 10.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Étape 11

$x = - \frac{1}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{3}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{3}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 12.2.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 12.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Étape 12.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 12.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 12.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

Étape 12.2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

Étape 12.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

Étape 12.2.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

Étape 12.2.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

Étape 12.2.10

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.10.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 12.2.10.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 12.2.10.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 12.2.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 12.2.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 12.2.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

Étape 12.2.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

Étape 12.2.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 12.2.14

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ .

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Étape 12.2.14.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Étape 12.2.14.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

Étape 12.2.14.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Étape 12.2.15

La réponse finale est $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 + 2$

Étape 14.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$- 4$

Étape 15

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

Étape 16.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

Étape 16.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

Étape 16.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0$

Étape 16.2.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 16.2.6

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ est un minimum local

$(1, 0)$ est un maximum local

Étape 18