Calcul infinitésimal Exemples

$k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.4

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.4.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Étape 1.6

Déplacez $2$ à gauche de ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

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Étape 1.7.1.1

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Étape 1.7.1.2

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Étape 1.7.1.3

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Étape 1.7.2

Associez des termes.

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Étape 1.7.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Étape 1.7.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Étape 1.7.2.3

Additionnez $3 t^{2}$ et $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.3

Réécrivez ${(t^{2} - 4)}^{2}$ comme $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.4

Développez $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.5.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.5.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.5.2

Soustrayez $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.7

Simplifiez

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Étape 1.7.7.1

Multipliez $t$ par $t^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.7.1.1

Déplacez $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.7.1.2

Multipliez $t^{4}$ par $t$ .

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Étape 1.7.7.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.7.1.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.7.3

Multipliez $16$ par $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.8.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 1.7.8.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.8.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.8.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 1.7.9

Développez $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.2

Multipliez $t^{5}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.10.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.2.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.6

Multipliez $t^{3}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.10.6.1

Déplacez $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.6.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.7

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.8

Multipliez $- 4$ par $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.10

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.10.10.1

Déplacez $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.10.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 1.7.10.10.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.11

Multipliez $32$ par $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Étape 1.7.10.12

Multipliez $- 4$ par $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Étape 1.7.11

Soustrayez $64 t^{5}$ de $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Étape 1.7.12

Additionnez $64 t^{3}$ et $128 t^{3}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 72 t^{5}] + \frac{d}{d t} [192 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

$k'' (t) = \frac{d}{d t} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [8 t^{7}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t^{7}$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$k'' (t) = 8 \frac{d}{d t} (t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$k'' (t) = 8 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.2.3

Multipliez $7$ par $8$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 72 t^{5}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 72$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 72 t^{5}$ par rapport à $t$ est $- 72 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 \frac{d}{d t} t^{5} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $- 72$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [192 t^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $192$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $192 t^{3}$ par rapport à $t$ est $192 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $192$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 128$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 128 t$ par rapport à $t$ est $- 128 \frac{d}{d t} [t]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \frac{d}{d t} t$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 128$ par $1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t^{2} - 4$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.4.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.4

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.1

Déplacez $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Étape 4.1.6

Déplacez $2$ à gauche de ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Étape 4.1.7

Simplifiez

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

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Étape 4.1.7.1.1

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Étape 4.1.7.1.2

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.1.3

Factorisez $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ à partir de $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.7.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.2.3

Additionnez $3 t^{2}$ et $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.3

Réécrivez ${(t^{2} - 4)}^{2}$ comme $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.4

Développez $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.7.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.5.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.5.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.5.2

Soustrayez $4 t^{2}$ de $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.7

Simplifiez

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Étape 4.1.7.7.1

Multipliez $t$ par $t^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.7.1.1

Déplacez $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.7.1.2

Multipliez $t^{4}$ par $t$ .

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Étape 4.1.7.7.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.7.1.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.7.3

Multipliez $16$ par $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.8.1

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.8.1.1

Déplacez $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.8.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 4.1.7.8.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.8.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.8.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Étape 4.1.7.9

Développez $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.2

Multipliez $t^{5}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.10.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.2.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.6

Multipliez $t^{3}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.10.6.1

Déplacez $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.6.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.7

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.8

Multipliez $- 4$ par $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.10

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.10.10.1

Déplacez $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.10.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 4.1.7.10.10.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.11

Multipliez $32$ par $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Étape 4.1.7.10.12

Multipliez $- 4$ par $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Étape 4.1.7.11

Soustrayez $64 t^{5}$ de $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Étape 4.1.7.12

Additionnez $64 t^{3}$ et $128 t^{3}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Étape 4.2

La dérivée première de $k (t)$ par rapport à $t$ est $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $8 t$ à partir de $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $8 t$ à partir de $8 t^{7}$ .

$8 t (t^{6}) - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $8 t$ à partir de $- 72 t^{5}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $8 t$ à partir de $192 t^{3}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) - 128 t = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $8 t$ à partir de $- 128 t$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $8 t$ à partir de $8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $8 t$ à partir de $8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $8 t$ à partir de $8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16)$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 t^{4}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) + 24 t^{2} - 16) = 0$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $24 t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 16) = 0$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Étape 5.2.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 t^{4}) - (- 24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Étape 5.2.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Étape 5.2.3

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 {(t^{2})}^{2} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Étape 5.2.4

Laissez $u = t^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $t^{2}$ par $u$ .

$8 t (t^{6} - (9 u^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Réécrivez $9 u^{2}$ comme ${(3 u)}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 4^{2})) = 0$

Étape 5.2.5.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$24 u = 2 \cdot (3 u) \cdot 4$

Étape 5.2.5.4

Réécrivez le polynôme.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 2 \cdot (3 u) \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 5.2.5.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 3 u$ et $b = 4$ .

$8 t (t^{6} - {(3 u - 4)}^{2}) = 0$

Étape 5.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Étape 5.2.7

Réécrivez $t^{6}$ comme ${(t^{3})}^{2}$ .

$8 t ({(t^{3})}^{2} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Étape 5.2.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t^{3}$ et $b = 3 t^{2} - 4$ .

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Étape 5.2.9

Factorisez.

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Étape 5.2.9.1

Simplifiez

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Étape 5.2.9.1.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Étape 5.2.9.1.2

Réécrivez $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.9.1.2.1

Factorisez $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.9.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 5.2.9.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 5.2.9.1.2.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1.2.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Étape 5.2.9.1.2.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Étape 5.2.9.1.2.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Étape 5.2.9.1.2.1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 - 4$

Étape 5.2.9.1.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$4 - 4$

Étape 5.2.9.1.2.1.3.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 5.2.9.1.2.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $t - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} - 4}{t - 1}$

Étape 5.2.9.1.2.1.5

Divisez $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ par $t - 1$ .

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Étape 5.2.9.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $t^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			+	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $t^{3} - t^{2}$

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 t^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 t^{2} - 4 t$

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 t$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							+	$4 t$	-	$4$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 t - 4$

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$
										$0$

Étape 5.2.9.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$t^{2} + 4 t + 4$

Étape 5.2.9.1.2.1.6

Écrivez $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Étape 5.2.9.1.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.9.1.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Étape 5.2.9.1.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Étape 5.2.9.1.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Étape 5.2.9.1.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = t$ et $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Étape 5.2.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2}) + 4)) = 0$

Étape 5.2.9.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Étape 5.2.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Étape 5.2.9.1.6

Factorisez.

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Étape 5.2.9.1.6.1

Réécrivez $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.9.1.6.1.1

Factorisez $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1.6.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1.6.1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.3.5

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- 4 + 4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.3.6

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $t + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 4}{t + 1}$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5

Divisez $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ par $t + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $t^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			+	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $t^{3} + t^{2}$

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 t^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 t^{2} - 4 t$

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 t$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							+	$4 t$	+	$4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 t + 4$

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$
										$0$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$t^{2} - 4 t + 4$

Étape 5.2.9.1.6.1.1.6

Écrivez $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 4))) = 0$

Étape 5.2.9.1.6.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.9.1.6.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 2^{2}))) = 0$

Étape 5.2.9.1.6.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Étape 5.2.9.1.6.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}))) = 0$

Étape 5.2.9.1.6.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = t$ et $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) {(t - 2)}^{2})) = 0$

Étape 5.2.9.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2}) = 0$

Étape 5.2.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$t - 1 = 0$

${(t + 2)}^{2} = 0$

$t + 1 = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 5.5

Définissez $t - 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $t - 1$ égal à $0$ .

$t - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 1$

Étape 5.6

Définissez ${(t + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Définissez ${(t + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Étape 5.6.2

Résolvez ${(t + 2)}^{2} = 0$ pour $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Définissez le $t + 2$ égal à $0$ .

$t + 2 = 0$

Étape 5.6.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 2$

Étape 5.7

Définissez $t + 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $t + 1$ égal à $0$ .

$t + 1 = 0$

Étape 5.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 1$

Étape 5.8

Définissez ${(t - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1

Définissez ${(t - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.8.2

Résolvez ${(t - 2)}^{2} = 0$ pour $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.2.1

Définissez le $t - 2$ égal à $0$ .

$t - 2 = 0$

Étape 5.8.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 2$

Étape 5.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$56 {(0)}^{6} - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$56 \cdot 0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Étape 9.1.2

Multipliez $56$ par $0$ .

$0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 360 \cdot 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 360$ par $0$ .

$0 + 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Étape 9.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 576 \cdot 0 - 128$

Étape 9.1.6

Multipliez $576$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 - 128$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 - 128$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 128$

Étape 9.2.3

Soustrayez $128$ de $0$ .

$- 128$

Étape 10

$t = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $t = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$k (0) = {(0)}^{2} {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$k (0) = 0 {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Étape 11.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$k (0) = 0 {(0 - 4)}^{3}$

Étape 11.2.3

Soustrayez $4$ de $0$ .

$k (0) = 0 {(- 4)}^{3}$

Étape 11.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$k (0) = 0 \cdot - 64$

Étape 11.2.5

Multipliez $0$ par $- 64$ .

$k (0) = 0$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$56 {(1)}^{6} - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$56 \cdot 1 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Étape 13.1.2

Multipliez $56$ par $1$ .

$56 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Étape 13.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$56 - 360 \cdot 1 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 360$ par $1$ .

$56 - 360 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Étape 13.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$56 - 360 + 576 \cdot 1 - 128$

Étape 13.1.6

Multipliez $576$ par $1$ .

$56 - 360 + 576 - 128$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $360$ de $56$ .

$- 304 + 576 - 128$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 304$ et $576$ .

$272 - 128$

Étape 13.2.3

Soustrayez $128$ de $272$ .

$144$

Étape 14

$t = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 1$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $t = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $t$ par $1$ dans l’expression.

$k (1) = {(1)}^{2} {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$k (1) = 1 {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Étape 15.2.2

Multipliez ${({(1)}^{2} - 4)}^{3}$ par $1$ .

$k (1) = {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Étape 15.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$k (1) = {(1 - 4)}^{3}$

Étape 15.2.4

Soustrayez $4$ de $1$ .

$k (1) = {(- 3)}^{3}$

Étape 15.2.5

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$k (1) = - 27$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- 27$ .

$y = - 27$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $t = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$56 {(- 2)}^{6} - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$56 \cdot 64 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Étape 17.1.2

Multipliez $56$ par $64$ .

$3584 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Étape 17.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$3584 - 360 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Étape 17.1.4

Multipliez $- 360$ par $16$ .

$3584 - 5760 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Étape 17.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$3584 - 5760 + 576 \cdot 4 - 128$

Étape 17.1.6

Multipliez $576$ par $4$ .

$3584 - 5760 + 2304 - 128$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $5760$ de $3584$ .

$- 2176 + 2304 - 128$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 2176$ et $2304$ .

$128 - 128$

Étape 17.2.3

Soustrayez $128$ de $128$ .

$0$

Étape 18

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 18.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $t$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 18.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.2.1

Remplacez la variable $t$ par $- 4$ dans l’expression.

$k' (- 4) = 8 {(- 4)}^{7} - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Étape 18.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $7$ .

$k' (- 4) = 8 \cdot - 16384 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Étape 18.2.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 16384$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Étape 18.2.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $5$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 \cdot - 1024 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Étape 18.2.2.1.4

Multipliez $- 72$ par $- 1024$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Étape 18.2.2.1.5

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 \cdot - 64 - 128 \cdot - 4$

Étape 18.2.2.1.6

Multipliez $192$ par $- 64$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 - 128 \cdot - 4$

Étape 18.2.2.1.7

Multipliez $- 128$ par $- 4$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 + 512$

Étape 18.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.2.2.2.1

Additionnez $- 131072$ et $73728$ .

$k' (- 4) = - 57344 - 12288 + 512$

Étape 18.2.2.2.2

Soustrayez $12288$ de $- 57344$ .

$k' (- 4) = - 69632 + 512$

Étape 18.2.2.2.3

Additionnez $- 69632$ et $512$ .

$k' (- 4) = - 69120$

Étape 18.2.2.3

La réponse finale est $- 69120$ .

$- 69120$

Étape 18.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1.5$ , de l’intervalle $(- 2, - 1)$ dans la dérivée première $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.1

Remplacez la variable $t$ par $- 1.5$ dans l’expression.

$k' (- 1.5) = 8 {(- 1.5)}^{7} - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Étape 18.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.3.2.1.1

Élevez $- 1.5$ à la puissance $7$ .

$k' (- 1.5) = 8 \cdot - 17.0859375 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Étape 18.3.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 17.0859375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Étape 18.3.2.1.3

Élevez $- 1.5$ à la puissance $5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 \cdot - 7.59375 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Étape 18.3.2.1.4

Multipliez $- 72$ par $- 7.59375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Étape 18.3.2.1.5

Élevez $- 1.5$ à la puissance $3$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 \cdot - 3.375 - 128 \cdot - 1.5$

Étape 18.3.2.1.6

Multipliez $192$ par $- 3.375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 - 128 \cdot - 1.5$

Étape 18.3.2.1.7

Multipliez $- 128$ par $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 + 192$

Étape 18.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.3.2.2.1

Additionnez $- 136.6875$ et $546.75$ .

$k' (- 1.5) = 410.0625 - 648 + 192$

Étape 18.3.2.2.2

Soustrayez $648$ de $410.0625$ .

$k' (- 1.5) = - 237.9375 + 192$

Étape 18.3.2.2.3

Additionnez $- 237.9375$ et $192$ .

$k' (- 1.5) = - 45.9375$

Étape 18.3.2.3

La réponse finale est $- 45.9375$ .

$- 45.9375$

Étape 18.4

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.4.1

Remplacez la variable $t$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$k' (- 0.5) = 8 {(- 0.5)}^{7} - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Étape 18.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.4.2.1.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $7$ .

$k' (- 0.5) = 8 \cdot - 0.0078125 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Étape 18.4.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 0.0078125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Étape 18.4.2.1.3

Élevez $- 0.5$ à la puissance $5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 \cdot - 0.03125 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Étape 18.4.2.1.4

Multipliez $- 72$ par $- 0.03125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Étape 18.4.2.1.5

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 \cdot - 0.125 - 128 \cdot - 0.5$

Étape 18.4.2.1.6

Multipliez $192$ par $- 0.125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 - 128 \cdot - 0.5$

Étape 18.4.2.1.7

Multipliez $- 128$ par $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 + 64$

Étape 18.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.4.2.2.1

Additionnez $- 0.0625$ et $2.25$ .

$k' (- 0.5) = 2.1875 - 24 + 64$

Étape 18.4.2.2.2

Soustrayez $24$ de $2.1875$ .

$k' (- 0.5) = - 21.8125 + 64$

Étape 18.4.2.2.3

Additionnez $- 21.8125$ et $64$ .

$k' (- 0.5) = 42.1875$

Étape 18.4.2.3

La réponse finale est $42.1875$ .

$42.1875$

Étape 18.5

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.5.1

Remplacez la variable $t$ par $0.5$ dans l’expression.

$k' (0.5) = 8 {(0.5)}^{7} - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Étape 18.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.5.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $7$ .

$k' (0.5) = 8 \cdot 0.0078125 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Étape 18.5.2.1.2

Multipliez $8$ par $0.0078125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Étape 18.5.2.1.3

Élevez $0.5$ à la puissance $5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 \cdot 0.03125 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Étape 18.5.2.1.4

Multipliez $- 72$ par $0.03125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Étape 18.5.2.1.5

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 \cdot 0.125 - 128 \cdot 0.5$

Étape 18.5.2.1.6

Multipliez $192$ par $0.125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 128 \cdot 0.5$

Étape 18.5.2.1.7

Multipliez $- 128$ par $0.5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 64$

Étape 18.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.5.2.2.1

Soustrayez $2.25$ de $0.0625$ .

$k' (0.5) = - 2.1875 + 24 - 64$

Étape 18.5.2.2.2

Additionnez $- 2.1875$ et $24$ .

$k' (0.5) = 21.8125 - 64$

Étape 18.5.2.2.3

Soustrayez $64$ de $21.8125$ .

$k' (0.5) = - 42.1875$

Étape 18.5.2.3

La réponse finale est $- 42.1875$ .

$- 42.1875$

Étape 18.6

Remplacez tout nombre, tel que $1.5$ , de l’intervalle $(1, 2)$ dans la dérivée première $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.6.1

Remplacez la variable $t$ par $1.5$ dans l’expression.

$k' (1.5) = 8 {(1.5)}^{7} - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Étape 18.6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.6.2.1.1

Élevez $1.5$ à la puissance $7$ .

$k' (1.5) = 8 \cdot 17.0859375 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Étape 18.6.2.1.2

Multipliez $8$ par $17.0859375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Étape 18.6.2.1.3

Élevez $1.5$ à la puissance $5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 \cdot 7.59375 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Étape 18.6.2.1.4

Multipliez $- 72$ par $7.59375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Étape 18.6.2.1.5

Élevez $1.5$ à la puissance $3$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 \cdot 3.375 - 128 \cdot 1.5$

Étape 18.6.2.1.6

Multipliez $192$ par $3.375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 128 \cdot 1.5$

Étape 18.6.2.1.7

Multipliez $- 128$ par $1.5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 192$

Étape 18.6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.6.2.2.1

Soustrayez $546.75$ de $136.6875$ .

$k' (1.5) = - 410.0625 + 648 - 192$

Étape 18.6.2.2.2

Additionnez $- 410.0625$ et $648$ .

$k' (1.5) = 237.9375 - 192$

Étape 18.6.2.2.3

Soustrayez $192$ de $237.9375$ .

$k' (1.5) = 45.9375$

Étape 18.6.2.3

La réponse finale est $45.9375$ .

$45.9375$

Étape 18.7

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 18.7.1

Remplacez la variable $t$ par $4$ dans l’expression.

$k' (4) = 8 {(4)}^{7} - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Étape 18.7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$k' (4) = 8 \cdot 16384 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Étape 18.7.2.1.2

Multipliez $8$ par $16384$ .

$k' (4) = 131072 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Étape 18.7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$k' (4) = 131072 - 72 \cdot 1024 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Étape 18.7.2.1.4

Multipliez $- 72$ par $1024$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Étape 18.7.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 \cdot 64 - 128 \cdot 4$

Étape 18.7.2.1.6

Multipliez $192$ par $64$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 128 \cdot 4$

Étape 18.7.2.1.7

Multipliez $- 128$ par $4$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 512$

Étape 18.7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.7.2.2.1

Soustrayez $73728$ de $131072$ .

$k' (4) = 57344 + 12288 - 512$

Étape 18.7.2.2.2

Additionnez $57344$ et $12288$ .

$k' (4) = 69632 - 512$

Étape 18.7.2.2.3

Soustrayez $512$ de $69632$ .

$k' (4) = 69120$

Étape 18.7.2.3

La réponse finale est $69120$ .

$69120$

Étape 18.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $t = - 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 18.9

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $t = - 1$ , $t = - 1$ est un minimum local.

$t = - 1$ est un minimum local

Étape 18.10

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $t = 0$ , $t = 0$ est un maximum local.

$t = 0$ est un maximum local

Étape 18.11

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $t = 1$ , $t = 1$ est un minimum local.

$t = 1$ est un minimum local

Étape 18.12

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $t = 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 18.13

Ce sont les extrema locaux pour $k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = - 1$ est un minimum local

$t = 0$ est un maximum local

$t = 1$ est un minimum local

$t = - 1$ est un minimum local

$t = 0$ est un maximum local

$t = 1$ est un minimum local

Étape 19