Calcul infinitésimal Exemples

$h (y) = \arctan (y^{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \arctan (y)$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

Étape 1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

Étape 1.2.3.2

Associez $\frac{2}{1 + y^{4}}$ et $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

Étape 1.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y$ et $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.2

Multipliez $y^{4} + 1$ par $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{4} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $4 y^{3}$ et $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4

Multipliez $y$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.2

Multipliez $y^{3}$ par $y$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.5

Soustrayez $4 y^{4}$ de $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Étape 2.6

Associez $2$ et $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 y^{4} + 2$ .

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Étape 2.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.7

Réécrivez $- (3 y^{4} - 1)$ comme $- 1 (3 y^{4} - 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 y = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 y = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 0$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$y = 0$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $y = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Étape 7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Étape 7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

Étape 7.3.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- - 2$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2$

Étape 8

$y = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$y = 0$ est un minimum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $y = 0$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = \arctan (0)$

Étape 9.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$h (0) = 0$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 10

Ce sont les extrema locaux pour $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

Étape 11