Calcul infinitésimal Exemples

$p (x) = (- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (x + 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)$ et $g (x) = x + 3$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $- 5 x - 8$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (- 5 x - 8) (x + 2)$ et $g (x) = x - 2$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $- 5 x - 8$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 5 x - 8$ et $g (x) = x + 2$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 1.6

Différenciez.

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Étape 1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 1.6.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 1.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 1.6.4.2

Multipliez $- 5 x - 8$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 1.6.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 1.6.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 1.6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 1.6.8

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 1.6.9

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 + 0)))$

Étape 1.6.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.10.1

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) \cdot - 5))$

Étape 1.6.10.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x + 2$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 - 5 \cdot (x + 2)))$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 - 5 x - 5 \cdot 2))$

Étape 1.7.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 - 5 x - 10))$

Étape 1.7.3

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 8 - 10))$

Étape 1.7.4

Soustrayez $10$ de $- 8$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$

Étape 1.7.5

Factorisez $1$ à partir de $(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$ .

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Étape 1.7.5.1

Factorisez $1$ à partir de $(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)$ .

$1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2)) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$

Étape 1.7.5.2

Factorisez $1$ à partir de $(x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$ .

$1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2)) + 1 ((x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)))$

Étape 1.7.5.3

Factorisez $1$ à partir de $1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2)) + 1 ((x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)))$ .

$1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)))$

Étape 1.7.6

Multipliez $(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$

Étape 1.7.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.1

Développez $(- 5 x - 8) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x (x + 2) - 8 (x + 2)) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 (x + 2)) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$(- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$(- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$(- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 16) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.2.2

Soustrayez $8 x$ de $- 10 x$ .

$(- 5 x^{2} - 18 x - 16) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.3

Développez $(- 5 x^{2} - 18 x - 16) (x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.4.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 (x \cdot x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.7.8.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{1} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x^{1 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 5 x^{3} - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.4.3.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 (x \cdot x) - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x^{2} - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.4

Multipliez $- 2$ par $- 18$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x^{2} + 36 x - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.4.5

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x^{2} + 36 x - 16 x + 32 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.5

Soustrayez $18 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 36 x - 16 x + 32 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.6

Soustrayez $16 x$ de $36 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.7.1

Développez $(- 5 x - 8) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.8.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x (x + 2) - 8 (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.8.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.7.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 16 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.2.2

Soustrayez $8 x$ de $- 10 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.3

Développez $(x - 2) (- 10 x - 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.8.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + x (- 10 x - 18) - 2 (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + x (- 10 x) + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + x (- 10 x) + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.8.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.7.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x \cdot x + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.7.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 (x \cdot x) + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.4.1.3

Déplacez $- 18$ à gauche de $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} - 18 \cdot x - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.4.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 2$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} - 18 x + 20 x - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 18$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} - 18 x + 20 x + 36) (x + 3)$

Étape 1.7.8.7.4.2

Additionnez $- 18 x$ et $20 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} + 2 x + 36) (x + 3)$

Étape 1.7.8.8

Soustrayez $10 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 15 x^{2} - 18 x - 16 + 2 x + 36) (x + 3)$

Étape 1.7.8.9

Additionnez $- 18 x$ et $2 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 15 x^{2} - 16 x - 16 + 36) (x + 3)$

Étape 1.7.8.10

Additionnez $- 16$ et $36$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 15 x^{2} - 16 x + 20) (x + 3)$

Étape 1.7.8.11

Développez $(- 15 x^{2} - 16 x + 20) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{2} x - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.12.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.12.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 (x \cdot x^{2}) - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.7.8.12.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 (x^{1} x^{2}) - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{1 + 2} - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.2

Multipliez $3$ par $- 15$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.12.3.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 (x \cdot x) - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x^{2} - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.4

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 1.7.8.12.5

Multipliez $20$ par $3$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 20 x + 60$

Étape 1.7.8.13

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 45 x^{2}$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 61 x^{2} - 48 x + 20 x + 60$

Étape 1.7.8.14

Additionnez $- 48 x$ et $20 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 61 x^{2} - 28 x + 60$

Étape 1.7.9

Soustrayez $15 x^{3}$ de $- 5 x^{3}$ .

$- 20 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 61 x^{2} - 28 x + 60$

Étape 1.7.10

Soustrayez $61 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} + 20 x + 32 - 28 x + 60$

Étape 1.7.11

Soustrayez $28 x$ de $20 x$ .

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 32 + 60$

Étape 1.7.12

Additionnez $32$ et $60$ .

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 69 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [92]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 69 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$p'' (x) = - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 69 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$p'' (x) = - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 69 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 69 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 69 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 69$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 69 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 69 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 69 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 69 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 69$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 138 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 138 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 138 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 138 x - 8 + \frac{d}{d x} (92)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $92$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $92$ par rapport à $x$ est $0$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 138 x - 8 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 60 x^{2} - 138 x - 8$ et $0$ .

$p'' (x) = - 60 x^{2} - 138 x - 8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 4.1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $- 5 x - 8$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)]$

Étape 4.1.3

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 4.1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 4.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 4.1.4.4.2

Multipliez $- 5 x - 8$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [(- 5 x - 8) (x + 2)])$

Étape 4.1.5

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 4.1.6

Différenciez.

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Étape 4.1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 4.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 4.1.6.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 4.1.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) ((- 5 x - 8) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 4.1.6.4.2

Multipliez $- 5 x - 8$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) \frac{d}{d x} [- 5 x - 8]))$

Étape 4.1.6.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 4.1.6.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 4.1.6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 4.1.6.8

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 + \frac{d}{d x} [- 8])))$

Étape 4.1.6.9

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) (- 5 + 0)))$

Étape 4.1.6.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.6.10.1

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 + (x + 2) \cdot - 5))$

Étape 4.1.6.10.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x + 2$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 - 5 \cdot (x + 2)))$

Étape 4.1.7

Simplifiez

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Étape 4.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 - 5 x - 5 \cdot 2))$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 5 x - 8 - 5 x - 10))$

Étape 4.1.7.3

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 8 - 10))$

Étape 4.1.7.4

Soustrayez $10$ de $- 8$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$

Étape 4.1.7.5

Factorisez $1$ à partir de $(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$ .

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Étape 4.1.7.5.1

Factorisez $1$ à partir de $(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2)$ .

$1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2)) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$

Étape 4.1.7.5.2

Factorisez $1$ à partir de $(x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$ .

$1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2)) + 1 ((x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)))$

Étape 4.1.7.5.3

Factorisez $1$ à partir de $1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2)) + 1 ((x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)))$ .

$1 (((- 5 x - 8) (x + 2)) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)))$

Étape 4.1.7.6

Multipliez $(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$ par $1$ .

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + (x + 3) ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18))$

Étape 4.1.7.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$(- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.8.1

Développez $(- 5 x - 8) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.7.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x (x + 2) - 8 (x + 2)) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 (x + 2)) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.7.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$(- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(- 5 x^{2} - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$(- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 8 \cdot 2) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$(- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 16) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.2.2

Soustrayez $8 x$ de $- 10 x$ .

$(- 5 x^{2} - 18 x - 16) (x - 2) + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.3

Développez $(- 5 x^{2} - 18 x - 16) (x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.8.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.8.4.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 (x \cdot x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 (x^{1} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x^{1 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 5 x^{3} - 5 x^{2} \cdot - 2 - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x \cdot x - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.4.3.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 (x \cdot x) - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x^{2} - 18 x \cdot - 2 - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.4

Multipliez $- 2$ par $- 18$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x^{2} + 36 x - 16 x - 16 \cdot - 2 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.4.5

Multipliez $- 16$ par $- 2$ .

$- 5 x^{3} + 10 x^{2} - 18 x^{2} + 36 x - 16 x + 32 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.5

Soustrayez $18 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 36 x - 16 x + 32 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.6

Soustrayez $16 x$ de $36 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + ((- 5 x - 8) (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.1

Développez $(- 5 x - 8) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x (x + 2) - 8 (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 (x + 2) + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 5 x \cdot 2 - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 8 \cdot 2 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 10 x - 8 x - 16 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.2.2

Soustrayez $8 x$ de $- 10 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + (x - 2) (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.3

Développez $(x - 2) (- 10 x - 18)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + x (- 10 x - 18) - 2 (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + x (- 10 x) + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x - 18)) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 + x (- 10 x) + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x \cdot x + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.7.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 (x \cdot x) + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} + x \cdot - 18 - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.4.1.3

Déplacez $- 18$ à gauche de $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} - 18 \cdot x - 2 (- 10 x) - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.4.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 2$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} - 18 x + 20 x - 2 \cdot - 18) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 18$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} - 18 x + 20 x + 36) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.7.4.2

Additionnez $- 18 x$ et $20 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 5 x^{2} - 18 x - 16 - 10 x^{2} + 2 x + 36) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.8

Soustrayez $10 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 15 x^{2} - 18 x - 16 + 2 x + 36) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.9

Additionnez $- 18 x$ et $2 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 15 x^{2} - 16 x - 16 + 36) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.10

Additionnez $- 16$ et $36$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 + (- 15 x^{2} - 16 x + 20) (x + 3)$

Étape 4.1.7.8.11

Développez $(- 15 x^{2} - 16 x + 20) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{2} x - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.12.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.12.1.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 (x \cdot x^{2}) - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.12.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 (x^{1} x^{2}) - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{1 + 2} - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 15 x^{2} \cdot 3 - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.2

Multipliez $3$ par $- 15$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x \cdot x - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.8.12.3.1

Déplacez $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 (x \cdot x) - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x^{2} - 16 x \cdot 3 + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.4

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 20 x + 20 \cdot 3$

Étape 4.1.7.8.12.5

Multipliez $20$ par $3$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 45 x^{2} - 16 x^{2} - 48 x + 20 x + 60$

Étape 4.1.7.8.13

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 45 x^{2}$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 61 x^{2} - 48 x + 20 x + 60$

Étape 4.1.7.8.14

Additionnez $- 48 x$ et $20 x$ .

$- 5 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 15 x^{3} - 61 x^{2} - 28 x + 60$

Étape 4.1.7.9

Soustrayez $15 x^{3}$ de $- 5 x^{3}$ .

$- 20 x^{3} - 8 x^{2} + 20 x + 32 - 61 x^{2} - 28 x + 60$

Étape 4.1.7.10

Soustrayez $61 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} + 20 x + 32 - 28 x + 60$

Étape 4.1.7.11

Soustrayez $28 x$ de $20 x$ .

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 32 + 60$

Étape 4.1.7.12

Additionnez $32$ et $60$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92$

Étape 4.2

La dérivée première de $p (x)$ par rapport à $x$ est $- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92$ .

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 20 x^{3} - 69 x^{2} - 8 x + 92 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 2.63654771, - 1.78880136, 0.97534907$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2.63654771, - 1.78880136, 0.97534907$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2.63654771$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 60 {(- 2.63654771)}^{2} - 138 \cdot - 2.63654771 - 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 2.63654771$ à la puissance $2$ .

$- 60 \cdot 6.95138384 - 138 \cdot - 2.63654771 - 8$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 60$ par $6.95138384$ .

$- 417.08303054 - 138 \cdot - 2.63654771 - 8$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 138$ par $- 2.63654771$ .

$- 417.08303054 + 363.84358437 - 8$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 417.08303054$ et $363.84358437$ .

$- 53.23944616 - 8$

Étape 9.2.2

Soustrayez $8$ de $- 53.23944616$ .

$- 61.23944616$

Étape 10

$x = - 2.63654771$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2.63654771$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2.63654771$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.63654771$ dans l’expression.

$p (- 2.63654771) = (- 5 \cdot - 2.63654771 - 8) ((- 2.63654771) + 2) ((- 2.63654771) - 2) ((- 2.63654771) + 3)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 2.63654771$ .

$p (- 2.63654771) = (13.18273856 - 8) ((- 2.63654771) + 2) ((- 2.63654771) - 2) ((- 2.63654771) + 3)$

Étape 11.2.2

Soustrayez $8$ de $13.18273856$ .

$p (- 2.63654771) = 5.18273856 ((- 2.63654771) + 2) ((- 2.63654771) - 2) ((- 2.63654771) + 3)$

Étape 11.2.3

Additionnez $- 2.63654771$ et $2$ .

$p (- 2.63654771) = 5.18273856 \cdot (- 0.63654771 ((- 2.63654771) - 2) ((- 2.63654771) + 3))$

Étape 11.2.4

Multipliez $5.18273856$ par $- 0.63654771$ .

$p (- 2.63654771) = - 3.29906037 ((- 2.63654771) - 2) ((- 2.63654771) + 3)$

Étape 11.2.5

Soustrayez $2$ de $- 2.63654771$ .

$p (- 2.63654771) = - 3.29906037 \cdot (- 4.63654771 ((- 2.63654771) + 3))$

Étape 11.2.6

Multipliez $- 3.29906037$ par $- 4.63654771$ .

$p (- 2.63654771) = 15.29625085 ((- 2.63654771) + 3)$

Étape 11.2.7

Additionnez $- 2.63654771$ et $3$ .

$p (- 2.63654771) = 15.29625085 \cdot 0.36345228$

Étape 11.2.8

Multipliez $15.29625085$ par $0.36345228$ .

$p (- 2.63654771) = 5.55945735$

Étape 11.2.9

La réponse finale est $5.55945735$ .

$y = 5.55945735$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.78880136$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 60 {(- 1.78880136)}^{2} - 138 \cdot - 1.78880136 - 8$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 1.78880136$ à la puissance $2$ .

$- 60 \cdot 3.19981033 - 138 \cdot - 1.78880136 - 8$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 60$ par $3.19981033$ .

$- 191.98861981 - 138 \cdot - 1.78880136 - 8$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 138$ par $- 1.78880136$ .

$- 191.98861981 + 246.85458863 - 8$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 191.98861981$ et $246.85458863$ .

$54.86596881 - 8$

Étape 13.2.2

Soustrayez $8$ de $54.86596881$ .

$46.86596881$

Étape 14

$x = - 1.78880136$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.78880136$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.78880136$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.78880136$ dans l’expression.

$p (- 1.78880136) = (- 5 \cdot - 1.78880136 - 8) ((- 1.78880136) + 2) ((- 1.78880136) - 2) ((- 1.78880136) + 3)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 1.78880136$ .

$p (- 1.78880136) = (8.94400683 - 8) ((- 1.78880136) + 2) ((- 1.78880136) - 2) ((- 1.78880136) + 3)$

Étape 15.2.2

Soustrayez $8$ de $8.94400683$ .

$p (- 1.78880136) = 0.94400683 ((- 1.78880136) + 2) ((- 1.78880136) - 2) ((- 1.78880136) + 3)$

Étape 15.2.3

Additionnez $- 1.78880136$ et $2$ .

$p (- 1.78880136) = 0.94400683 \cdot (0.21119863 ((- 1.78880136) - 2) ((- 1.78880136) + 3))$

Étape 15.2.4

Multipliez $0.94400683$ par $0.21119863$ .

$p (- 1.78880136) = 0.19937295 ((- 1.78880136) - 2) ((- 1.78880136) + 3)$

Étape 15.2.5

Soustrayez $2$ de $- 1.78880136$ .

$p (- 1.78880136) = 0.19937295 \cdot (- 3.78880136 ((- 1.78880136) + 3))$

Étape 15.2.6

Multipliez $0.19937295$ par $- 3.78880136$ .

$p (- 1.78880136) = - 0.75538451 ((- 1.78880136) + 3)$

Étape 15.2.7

Additionnez $- 1.78880136$ et $3$ .

$p (- 1.78880136) = - 0.75538451 \cdot 1.21119863$

Étape 15.2.8

Multipliez $- 0.75538451$ par $1.21119863$ .

$p (- 1.78880136) = - 0.91492069$

Étape 15.2.9

La réponse finale est $- 0.91492069$ .

$y = - 0.91492069$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.97534907$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 60 {(0.97534907)}^{2} - 138 \cdot 0.97534907 - 8$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $0.97534907$ à la puissance $2$ .

$- 60 \cdot 0.95130582 - 138 \cdot 0.97534907 - 8$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 60$ par $0.95130582$ .

$- 57.07834964 - 138 \cdot 0.97534907 - 8$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 138$ par $0.97534907$ .

$- 57.07834964 - 134.59817301 - 8$

Étape 17.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $134.59817301$ de $- 57.07834964$ .

$- 191.67652265 - 8$

Étape 17.2.2

Soustrayez $8$ de $- 191.67652265$ .

$- 199.67652265$

Étape 18

$x = 0.97534907$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.97534907$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 0.97534907$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $0.97534907$ dans l’expression.

$p (0.97534907) = (- 5 \cdot 0.97534907 - 8) ((0.97534907) + 2) ((0.97534907) - 2) ((0.97534907) + 3)$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Multipliez $- 5$ par $0.97534907$ .

$p (0.97534907) = (- 4.87674539 - 8) ((0.97534907) + 2) ((0.97534907) - 2) ((0.97534907) + 3)$

Étape 19.2.2

Soustrayez $8$ de $- 4.87674539$ .

$p (0.97534907) = - 12.87674539 ((0.97534907) + 2) ((0.97534907) - 2) ((0.97534907) + 3)$

Étape 19.2.3

Additionnez $0.97534907$ et $2$ .

$p (0.97534907) = - 12.87674539 \cdot (2.97534907 ((0.97534907) - 2) ((0.97534907) + 3))$

Étape 19.2.4

Multipliez $- 12.87674539$ par $2.97534907$ .

$p (0.97534907) = - 38.31281257 ((0.97534907) - 2) ((0.97534907) + 3)$

Étape 19.2.5

Soustrayez $2$ de $0.97534907$ .

$p (0.97534907) = - 38.31281257 \cdot (- 1.02465092 ((0.97534907) + 3))$

Étape 19.2.6

Multipliez $- 38.31281257$ par $- 1.02465092$ .

$p (0.97534907) = 39.25725865 ((0.97534907) + 3)$

Étape 19.2.7

Additionnez $0.97534907$ et $3$ .

$p (0.97534907) = 39.25725865 \cdot 3.97534907$

Étape 19.2.8

Multipliez $39.25725865$ par $3.97534907$ .

$p (0.97534907) = 156.06130708$

Étape 19.2.9

La réponse finale est $156.06130708$ .

$y = 156.06130708$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $p (x) = (- 5 x - 8) (x + 2) (x - 2) (x + 3)$ .

$(- 2.63654771, 5.55945735)$ est un maximum local

$(- 1.78880136, - 0.91492069)$ est un minimum local

$(0.97534907, 156.06130708)$ est un maximum local

Étape 21