Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = 561 + (36 t^{0.6} - 108)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $561 + 36 t^{0.6} - 108$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$ .

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 1.1.2

Comme $561$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $561$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $36$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $36 t^{0.6}$ par rapport à $t$ est $36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 0.6$ .

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 1.2.3

Multipliez $0.6$ par $36$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 1.3

Comme $- 108$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 108$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $21.6$ et $\frac{1}{t^{0.4}}$ .

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ et $0$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $21.6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ par rapport à $t$ est $21.6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{0.4}}]$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (\frac{1}{t^{0.4}})$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{t^{0.4}}$ comme ${(t^{0.4})}^{- 1}$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} ({(t^{0.4})}^{- 1})$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{0.4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{0.4 \cdot - 1})$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $0.4$ par $- 1$ .

$p'' (t) = 21.6 \frac{d}{d t} (t^{- 0.4})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 0.4$ .

$p'' (t) = 21.6 (- 0.4 t^{- 1.4})$

Étape 2.4

Multipliez $- 0.4$ par $21.6$ .

$p'' (t) = - 8.64 t^{- 1.4}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$p'' (t) = - 8.64 \frac{1}{t^{1.4}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 8.64$ et $\frac{1}{t^{1.4}}$ .

$p'' (t) = \frac{- 8.64}{t^{1.4}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$p'' (t) = - \frac{8.64}{t^{1.4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $561 + 36 t^{0.6} - 108$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$ .

$\frac{d}{d t} [561] + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 4.1.1.2

Comme $561$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $561$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [36 t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [36 t^{0.6}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $36$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $36 t^{0.6}$ par rapport à $t$ est $36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d t} [t^{0.6}] + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 0.6$ .

$0 + 36 (0.6 t^{- 0.4}) + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $0.6$ par $36$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + \frac{d}{d t} [- 108]$

Étape 4.1.3

Comme $- 108$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 108$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + 21.6 t^{- 0.4} + 0$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 21.6 \frac{1}{t^{0.4}} + 0$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Associez $21.6$ et $\frac{1}{t^{0.4}}$ .

$0 + \frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Étape 4.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} + 0$

Étape 4.1.4.2.3

Additionnez $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ et $0$ .

$f' (t) = \frac{21.6}{t^{0.4}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $p (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{21.6}{t^{0.4}}$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{21.6}{t^{0.4}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$21.6 = 0$

Étape 5.3

Comme $21.6 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Transformez $0.4$ en une fraction.

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Étape 6.1.1.1

Multipliez par $\frac{10}{10}$ pour retirer la décimale.

$\frac{21.6}{t^{\frac{10 \cdot 0.4}{10}}}$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $10$ par $0.4$ .

$\frac{21.6}{t^{\frac{4}{10}}}$

Étape 6.1.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 6.1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 (2)}{10}}}$

Étape 6.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

Étape 6.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}}}$

Étape 6.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21.6}{t^{\frac{2}{5}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{21.6}{\sqrt[5]{t^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[5]{t^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $t$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{t^{2}}}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{t^{2}}$ comme $t^{\frac{2}{5}}$ .

${(t^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$t^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$t^{2} = 0^{5}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$t^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $t$ .

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Étape 6.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \pm 0$

Étape 6.3.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$t = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{8.64}{{(0)}^{1.4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{8.64}{0}$

Étape 9.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11