Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt[3]{x - 6}$

Étape 1

Écrivez $x \sqrt[3]{x - 6}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 6}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.3

Placez ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.4

Associez $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.11

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12.2

Multipliez $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Étape 2.14

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.15

Pour écrire ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.16

Associez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.1

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19

Simplifiez ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.20

Déplacez $3$ à gauche de $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21

Simplifiez

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Étape 2.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.21.2.1

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21.2.2

Additionnez $x$ et $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x - 18$ .

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Étape 2.21.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x - 9$ et $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 9) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.7.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2 {(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.9.3

Placez ${(x - 6)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.12

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.13.2

Multipliez $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.13.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{{(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (2 x - 9) \frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + (- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- (2 x) + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.14.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 ((- 2 x + 9) (\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.3

Multipliez $- 2 x + 9$ par $\frac{2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{(- 2 x + 9) \cdot 2}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $- 2 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 2 (\frac{2 \cdot (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.5

Multipliez $2 \frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.3.5.1

Associez $2$ et $\frac{2 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (2 (- 2 x + 9))}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.6

Pour écrire $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.7

Associez $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9

Réécrivez $\frac{4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ en forme factorisée.

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Étape 3.14.3.9.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 4 (- 2 x + 9)$ .

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Étape 3.14.3.9.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})) + 4 (- 2 x + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.3

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.3.9.3.1

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.3.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.4

Simplifiez $3 {(x - 6)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 (x - 6) - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x + 3 \cdot - 6 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.6

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (3 x - 18 - 2 x + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.7

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 18 + 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.3.9.8

Additionnez $- 18$ et $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.4

Associez des termes.

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Étape 3.14.4.1

Réécrivez $\frac{\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.4.2

Multipliez $\frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 3.14.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.4.4

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.4.4.1

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 ({(x - 6)}^{\frac{4}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 3.14.4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 3.14.4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Étape 3.14.4.4.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 9)}{9 {(x - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 6}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 5.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8

Associez les fractions.

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Étape 5.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8.3

Placez ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8.4

Associez $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 6] + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.11

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.12.2

Multipliez $\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.14

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.1.15

Pour écrire ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.16

Associez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.18

Multipliez ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.18.1

Déplacez ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.18.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.18.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{x + {(x - 6)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.19

Simplifiez ${(x - 6)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x + (x - 6) \cdot 3}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.20

Déplacez $3$ à gauche de $x - 6$ .

$\frac{x + 3 \cdot (x - 6)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.21

Simplifiez

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Étape 5.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 3 x + 3 \cdot - 6}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.21.2.1

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$\frac{x + 3 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.21.2.2

Additionnez $x$ et $3 x$ .

$\frac{4 x - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.21.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x - 18$ .

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Étape 5.1.21.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 18}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.21.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.21.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (- 9)$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (2 x - 9) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x - 9) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x - 9) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x - 9)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Divisez $2 x - 9$ par $1$ .

$2 x - 9 = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 x - 9 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 9$

Étape 6.3.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 9$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 9$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 6.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (2 x - 9)}{3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(x - 6)}^{2}}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x - 6)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x - 6)}^{2} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 6)}^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 {(x - 6)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(x - 6)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.2

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 7.3.3.3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{9}{2}, 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{9}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ((\frac{9}{2}) - 9)}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Factorisez $9$ à partir de $4 ((\frac{9}{2}) - 9)$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 ({((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}})}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{2} - 1))}{9 {((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1)}{{((\frac{9}{2}) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 \frac{1 - 2}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{4 (\frac{- 1}{2})}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.6

Associez les exposants.

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Étape 10.3.6.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (4 (\frac{1}{2}))}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.6.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{4}{2}}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.7

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.4.1

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.2

Associez $- 6$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.4.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{9 - 12}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.4.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(\frac{- 3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- \frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.4.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{3}{2})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Étape 10.4.7

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Étape 10.4.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Étape 10.4.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.4.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Étape 10.4.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 \cdot 2}{{(- 1)}^{5} \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Étape 10.4.10

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Étape 10.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}}$

Étape 10.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$

Étape 10.7

Multipliez $- 2 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}})$ .

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Étape 10.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.7.2

Associez $2$ et $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.7.3

Multipliez $2$ par $2^{\frac{5}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.7.3.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 10.7.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.7.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.7.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.7.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{3 + 5}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.7.3.4

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{2^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11

$x = \frac{9}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{9}{2}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{9}{2}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{9}{2}) = (\frac{9}{2}) \sqrt[3]{(\frac{9}{2}) - 6}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 12.2.2

Associez $- 6$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}}$

Étape 12.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 6 \cdot 2}{2}}$

Étape 12.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 - 12}{2}}$

Étape 12.2.4.2

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 3}{2}}$

Étape 12.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Étape 12.2.6

Réécrivez $- \frac{3}{2}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ .

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Étape 12.2.6.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{3}{2})}$

Étape 12.2.6.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{3}{2})}$

Étape 12.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Étape 12.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

Étape 12.2.9

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}})$

Étape 12.2.10

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))$

Étape 12.2.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Étape 12.2.11.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Étape 12.2.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})$

Étape 12.2.11.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})$

Étape 12.2.11.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 12.2.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Étape 12.2.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Étape 12.2.11.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Étape 12.2.11.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.11.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})$

Étape 12.2.11.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Étape 12.2.11.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})$

Étape 12.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.12.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})$

Étape 12.2.12.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2})$

Étape 12.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2})$

Étape 12.2.13.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{9}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$

Étape 12.2.14

Multipliez $\frac{9}{2} (- \frac{\sqrt[3]{12}}{2})$ .

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Étape 12.2.14.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.14.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{9}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Étape 12.2.15

La réponse finale est $- \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{12}}{4}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 {((6) - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0^{5}}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{9 \cdot 0}$

Étape 14.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Étape 14.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4 ((6) - 9)}{0}$

Étape 14.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{9}{2})$ dans la dérivée première $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{2 (2 (0) - 9)}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $2 (2 (0) - 9)$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 ({((0) - 6)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 15.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{3 (2 (2 \cdot (0) - 3))}{3 {((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{2 (2 \cdot (0) - 3)}{{((0) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (0 - 3)}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.3.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(0 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.2.4.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 3}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (0) = \frac{- 6}{{(- 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.5

Placez ${(- 6)}^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (0) = - 6 {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $- 6$ par ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.2.6.1

Multipliez $- 6$ par ${(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 15.2.2.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $1$ .

$f' (0) = (- 6) {(- 6)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 15.2.2.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (0) = {(- 6)}^{1 - \frac{2}{3}}$

Étape 15.2.2.6.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Étape 15.2.2.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{3 - 2}{3}}$

Étape 15.2.2.6.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (0) = {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 15.2.2.7

La réponse finale est ${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(\frac{9}{2}, 6)$ dans la dérivée première $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{2 (2 (5) - 9)}{3 {((5) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (5) = \frac{2 (10 - 9)}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2.1.2

Soustrayez $9$ de $10$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(5 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.3.2.2.1

Soustrayez $6$ de $5$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 15.3.2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.3.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 15.3.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Étape 15.3.2.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Étape 15.3.2.3

Simplifiez

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Étape 15.3.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Étape 15.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (5) = \frac{2}{3}$

Étape 15.3.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{2 (2 x - 9)}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = \frac{2 (2 (8) - 9)}{3 {((8) - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (8) = \frac{2 (16 - 9)}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.1.2

Soustrayez $9$ de $16$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 {(8 - 6)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.4.2.2.1

Soustrayez $6$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$f' (8) = \frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.3

La réponse finale est $\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{14}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{9}{2}$ , $x = \frac{9}{2}$ est un minimum local.

$x = \frac{9}{2}$ est un minimum local

Étape 15.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 6$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 15.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x \sqrt[3]{x - 6}$ .

$x = \frac{9}{2}$ est un minimum local

Étape 16