Calcul infinitésimal Exemples

$x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Écrivez $x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 8 - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.3

Placez ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.4

Associez $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13.2

Associez $\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.13.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Étape 2.15

Multipliez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.16

Pour écrire ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.17

Associez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19

Multipliez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.19.1

Déplacez ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.19.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.20

Simplifiez ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.21

Déplacez $3$ à gauche de $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22

Simplifiez

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Étape 2.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.22.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.22.2.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.2.2

Soustrayez $3 x$ de $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 24$ .

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Étape 2.22.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.3.2

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.5

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.7

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.22.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 6}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 6) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 6)) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) \frac{d}{d x} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 8 - x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2 {(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.9.3

Placez ${(8 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.11

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14

Multipliez.

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Étape 3.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.14.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 1}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.16

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.16.1

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.16.2

Multipliez $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ par $\frac{4}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})) \cdot 4}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Étape 3.16.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.16.3.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{{(8 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Étape 3.16.3.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 \cdot {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17

Simplifiez

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Étape 3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 3.17.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 (x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 6) \frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 6) (\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}))}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.2

Multipliez $x - 6$ par $\frac{2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 6) \cdot 2}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x - 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.4

Pour écrire ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(8 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.5

Associez ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7

Réécrivez $\frac{{(8 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ en forme factorisée.

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Étape 3.17.2.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.2

Multipliez ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.2.7.2.1

Déplacez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 ({(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.2.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.3

Simplifiez $3 {(8 - x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 (8 - x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{3 \cdot 8 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 + 3 (- x) + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 6}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.8

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{24 - 3 x + 2 x - 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.9

Soustrayez $12$ de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- 3 x + 2 x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.2.7.10

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.3

Associez des termes.

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Étape 3.17.3.1

Associez $4$ et $\frac{- x + 12}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.3.2

Réécrivez $\frac{\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Étape 3.17.3.3

Multipliez $\frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{3 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 3.17.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3.17.3.5

Multipliez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.3.5.1

Déplacez ${(8 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 ({(8 - x)}^{\frac{4}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 3.17.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 3.17.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Étape 3.17.3.5.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- x + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.17.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) + 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.17.5

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.17.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.17.7

Réécrivez $- (x - 12)$ comme $- 1 (x - 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (x - 12))}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.17.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.17.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}})$

Étape 3.17.10

Multipliez $\frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 12)}{9 {(8 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [{(8 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 8 - x$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7

Associez les fractions.

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Étape 5.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{3} {(8 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7.3

Placez ${(8 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7.4

Associez $\frac{1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.13

Associez les fractions.

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Étape 5.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.13.2

Associez $\frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ et $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.13.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.13.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.13.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.13.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Étape 5.1.15

Multipliez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.1.16

Pour écrire ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.17

Associez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.19

Multipliez ${(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.19.1

Déplacez ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3}} {(8 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.19.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.19.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- x + {(8 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.20

Simplifiez ${(8 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (8 - x) \cdot 3}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.21

Déplacez $3$ à gauche de $8 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (8 - x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 3 \cdot 8 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.22.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.22.2.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{- x + 24 + 3 (- x)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- x + 24 - 3 x}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.2.2

Soustrayez $3 x$ de $- x$ .

$\frac{- 4 x + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.22.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.3.2

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.5

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{4 (- (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.7

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 6))}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.22.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x - 6) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 6) = 0$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 6) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x - 6)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Divisez $x - 6$ par $1$ .

$x - 6 = \frac{0}{4}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (x - 6)}{3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(8 - x)}^{2}}$ comme ${(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(8 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(8 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(8 - x)}^{2} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(8 - x)}^{2} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 {(8 - x)}^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 {(8 - x)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(8 - x)}^{2}$ par $1$ .

${(8 - x)}^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

${(8 - x)}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.2

Définissez le $8 - x$ égal à $0$ .

$8 - x = 0$

Étape 7.3.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 8$

Étape 7.3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 7.3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 7.3.3.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 7.3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.3.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x = 8$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 6, 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ((6) - 12)}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Factorisez $3$ à partir de $4 ((6) - 12)$ .

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 (2 - 4))}{3 (3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}})}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (2 - 4)}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - (6))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 {(8 - 6)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $6$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot - 2}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{- 8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Étape 11

$x = 6$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = (6) {(8 - (6))}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (6) = 6 {(8 - 6)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.2.2

Soustrayez $6$ de $8$ .

$f (6) = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - (8))}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 {(8 - 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.1.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0^{5}}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{9 \cdot 0}$

Étape 14.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Étape 14.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{4 ((8) - 12)}{0}$

Étape 14.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 6) \cup (6, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 6)$ dans la dérivée première $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - \frac{4 ((0) - 6)}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $4 ((0) - 6)$ .

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 ({(8 - (0))}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 15.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = - \frac{3 (4 (0 - 2))}{3 {(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = - \frac{4 (0 - 2)}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(8 - (0))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.4.1

Soustrayez $0$ de $8$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.4.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.2.2.4.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 15.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 15.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{2^{2}}$

Étape 15.2.2.4.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (0) = - \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Étape 15.2.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.5.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f' (0) = - \frac{- 8}{4}$

Étape 15.2.2.5.2

Divisez $- 8$ par $4$ .

$f' (0) = 2$

Étape 15.2.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (0) = 2$

Étape 15.2.2.6

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $7$ , de l’intervalle $(6, 8)$ dans la dérivée première $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = - \frac{4 ((7) - 6)}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.1

Soustrayez $6$ de $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - (7))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 {(8 - 7)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2.2.2

Soustrayez $7$ de $8$ .

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.3.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (7) = - \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 1}$

Étape 15.3.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3 \cdot 1}$

Étape 15.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (7) = - \frac{4}{3}$

Étape 15.3.2.4

La réponse finale est $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $10$ , de l’intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{4 (x - 6)}{3 {(8 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f' (10) = - \frac{4 ((10) - 6)}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.2.1

Soustrayez $6$ de $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - (10))}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(8 - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.2.2

Soustrayez $10$ de $8$ .

$f' (10) = - \frac{4 \cdot 4}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (10) = - \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.4.2.4

La réponse finale est $- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 15.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 6$ , $x = 6$ est un maximum local.

$x = 6$ est un maximum local

Étape 15.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 8$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 15.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x {(8 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = 6$ est un maximum local

Étape 16