Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 1

Écrivez $y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ comme une fonction.

$f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 9$ et $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.3.2

Associez $e^{- \frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.3.7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Étape 2.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Étape 2.3.8.2

Multipliez $e^{- \frac{x}{4}}$ par $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 2.4.2.3

Associez $- 9$ et $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 2.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 2.4.2.5

Pour écrire $e^{- \frac{x}{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.6

Associez $e^{- \frac{x}{4}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Étape 2.4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Étape 2.4.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 2.4.2.9

Additionnez $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ et $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 2.4.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{4}}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.4

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.8

Associez $e^{- \frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.9

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.2.10

Multipliez $e^{- \frac{x}{4}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- \frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Étape 3.3.3

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4}))$

Étape 3.3.6

Associez $e^{- \frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + 1 (\frac{5}{4}) \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 3.3.8

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 3.3.9

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.3.10

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.5

Associez $e^{- \frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.6

Pour écrire $- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.2.7.1

Multipliez $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.7.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{16} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4 + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- 4 e^{- \frac{x}{4}} + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 3.4.2.10

Additionnez $- 4 e^{- \frac{x}{4}}$ et $5 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.3.2

Associez $e^{- \frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 5.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 5.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 5.1.3.7

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Étape 5.1.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Étape 5.1.3.8.2

Multipliez $e^{- \frac{x}{4}}$ par $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 5.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 5.1.4.2.1

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 5.1.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 5.1.4.2.3

Associez $- 9$ et $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 5.1.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Étape 5.1.4.2.5

Pour écrire $e^{- \frac{x}{4}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.1.4.2.6

Associez $e^{- \frac{x}{4}}$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Étape 5.1.4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Étape 5.1.4.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 5.1.4.2.9

Additionnez $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ et $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 5.1.4.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - 5$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 5$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 5 e^{- - \frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- - \frac{5}{4}$ .

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{1 (\frac{5}{4})} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- - \frac{5}{4}}}{16}$

Étape 10.2.4

Multipliez $- - \frac{5}{4}$ .

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Étape 10.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{1 (\frac{5}{4})}}{16}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Étape 10.3

Simplifiez les termes.

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Étape 10.3.1

Additionnez $- 5 e^{\frac{5}{4}}$ et $e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{- 4 e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Étape 10.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{16}$

Étape 10.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 (4)}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 4}$

Étape 10.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Étape 11

$x = - 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = ((- 5) + 9) \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$f (- 5) = 4 \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Étape 12.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$y = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(- 5, 4 e^{\frac{5}{4}})$ est un maximum local

Étape 14