Calcul infinitésimal Exemples

$y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Étape 1

Écrivez $y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ comme une fonction.

$f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $5.4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5.4 \cos (\frac{π x}{6})$ par rapport à $x$ est $5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$ .

$5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$5.4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $5.4$ .

$- 5.4 (\sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5.4 \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.3.1

Associez $\frac{π}{6}$ et $- 5.4$ .

$\frac{π \cdot - 5.4}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $π$ par $- 5.4$ .

$\frac{- 16.96460032}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.3

Associez $\frac{- 16.96460032}{6}$ et $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$\frac{- 16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Factorisez $16.96460032$ à partir de $16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6}$

Étape 2.4.2

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Étape 2.4.3

Séparez les fractions.

$- (\frac{16.96460032}{6} \cdot \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Étape 2.4.4

Divisez $16.96460032$ par $6$ .

$- (2.82743338 \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Étape 2.4.5

Divisez $\sin (\frac{π x}{6})$ par $1$ .

$- (2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}))$

Étape 2.4.6

Multipliez $2.82743338$ par $- 1$ .

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 2.82743338$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$ par rapport à $x$ est $- 2.82743338 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{6})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \cos (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Associez $\frac{π}{6}$ et $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2.82743338}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $π$ par $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2.3

Associez $\frac{- 8.88264396}{6}$ et $\cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Factorisez $8.88264396$ à partir de $8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6}$

Étape 3.4.2

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Étape 3.4.3

Séparez les fractions.

$f'' (x) = - (\frac{8.88264396}{6} \cdot \frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1})$

Étape 3.4.4

Divisez $8.88264396$ par $6$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 (\frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1}))$

Étape 3.4.5

Divisez $\cos (\frac{π x}{6})$ par $1$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 \cos (\frac{π x}{6}))$

Étape 3.4.6

Multipliez $1.48044066$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 1.48044066 \cos (\frac{π x}{6})$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ par $- 2.82743338$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ par $- 2.82743338$ .

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2.82743338$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{π x}{6})$ par $1$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = \frac{0}{- 2.82743338}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $- 2.82743338$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{π x}{6} = \arcsin (0)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{π x}{6} = 0$

Étape 8

Définissez le numérateur égal à zéro.

$π x = 0$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$x = 0$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{π x}{6} = π - 0$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Étape 11.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1.1

Simplifiez $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

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Étape 11.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 11.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Étape 11.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Étape 11.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 11.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Étape 11.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Étape 11.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{6}{π} (π - 0)$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez $\frac{6}{π} (π - 0)$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = \frac{6}{π} π$

Étape 11.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 11.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6}{π} π$

Étape 11.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 6$

Étape 12

La solution de l’équation est $\frac{π x}{6} = 0$ .

$x = 0, 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (0)}{6})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $6$ à partir de $π (0)$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Étape 14.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Étape 14.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Étape 14.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Étape 14.1.2.4

Divisez $π \cdot (0)$ par $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π \cdot (0))$

Étape 14.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$- 1.48044066 \cos (0)$

Étape 14.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1.48044066 \cdot 1$

Étape 14.4

Multipliez $- 1.48044066$ par $1$ .

$- 1.48044066$

Étape 15

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = (5.4) \cos (\frac{π (0)}{6})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 16.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $π (0)$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Étape 16.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Étape 16.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Étape 16.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Étape 16.2.1.2.4

Divisez $π \cdot (0)$ par $1$ .

$f (0) = 5.4 \cos (π \cdot (0))$

Étape 16.2.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$f (0) = 5.4 \cos (0)$

Étape 16.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 5.4 \cdot 1$

Étape 16.2.4

Multipliez $5.4$ par $1$ .

$f (0) = 5.4$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $5.4$ .

$y = 5.4$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (6)}{6})$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 18.1.1

Annulez le facteur commun.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Étape 18.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π)$

Étape 18.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 1.48044066 (- \cos (0))$

Étape 18.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$

Étape 18.4

Multipliez $- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 18.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1.48044066 \cdot - 1$

Étape 18.4.2

Multipliez $- 1.48044066$ par $- 1$ .

$1.48044066$

Étape 19

$x = 6$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = 6$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = (5.4) \cos (\frac{π (6)}{6})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 20.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (6) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Étape 20.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (6) = 5.4 \cos (π)$

Étape 20.2.2

$f (6) = 5.4 (- \cos (0))$

Étape 20.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (6) = 5.4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 20.2.4

Multipliez $5.4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 20.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (6) = 5.4 \cdot - 1$

Étape 20.2.4.2

Multipliez $5.4$ par $- 1$ .

$f (6) = - 5.4$

Étape 20.2.5

La réponse finale est $- 5.4$ .

$y = - 5.4$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ .

$(0, 5.4)$ est un maximum local

$(6, - 5.4)$ est un minimum local

Étape 22