Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{x + 6}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{2}}{x + 6}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 6$ .

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 12 x$ .

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $12 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 12}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 2.3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 12$ .

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 12)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{({(x + 6)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 12)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 12)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 12$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x + 12) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (12)) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (12)) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x + (x + 12) \cdot 1) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $x + 12$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x + x + 12) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.4.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 6$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) (2 u \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) (2 (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.6.2

Factorisez $x + 6$ à partir de ${(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} [x + 6])$ .

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x + 6$ à partir de ${(x + 6)}^{2} (2 x + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12)) - 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.6.2.2

Factorisez $x + 6$ à partir de $- 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} [x + 6])$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12)) + (x + 6) (- 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.6.2.3

Factorisez $x + 6$ à partir de $(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12)) + (x + 6) (- 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} [x + 6]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{{(x + 6)}^{4}}$

Étape 3.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.1

Factorisez $x + 6$ à partir de ${(x + 6)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{(x + 6) {(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{(x + 6) {(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (1 + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.10

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) \cdot 1}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.11.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12)}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.2.1.1

Développez $(x + 6) (2 x + 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.12.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x + 12) + 6 (2 x + 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 12 + 6 (2 x + 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.12.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.3

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 12 \cdot x + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 12 x + 12 x + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.1.5

Multipliez $6$ par $12$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 12 x + 12 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.2.2

Additionnez $12 x$ et $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.1.4

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x^{2} - 24 x}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 3.12.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x + 72 + 0 - 24 x}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2.2

Additionnez $24 x + 72$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{24 x + 72 - 24 x}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2.3

Soustrayez $24 x$ de $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 72}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 3.12.2.2.4

Additionnez $0$ et $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{{(x + 6)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 12 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $12 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 12}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 12$ .

$f' (x) = \frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x (x + 12) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 12 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $x + 12$ égal à $0$ .

$x + 12 = 0$

Étape 6.3.3.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 12) = 0$ vraie.

$x = 0, - 12$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez le $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 12$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{72}{{((0) + 6)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Additionnez $0$ et $6$ .

$\frac{72}{6^{3}}$

Étape 10.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{72}{216}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $72$ et $216$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $72$ à partir de $72$ .

$\frac{72 (1)}{216}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $72$ à partir de $216$ .

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot 3}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot 3}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) + 6}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 6}$

Étape 12.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$f (0) = \frac{0}{6}$

Étape 12.2.3

Divisez $0$ par $6$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 12$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{72}{{((- 12) + 6)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1.1

Additionnez $- 12$ et $6$ .

$\frac{72}{{(- 6)}^{3}}$

Étape 14.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$\frac{72}{- 216}$

Étape 14.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun à $72$ et $- 216$ .

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Étape 14.2.1.1

Factorisez $72$ à partir de $72$ .

$\frac{72 (1)}{- 216}$

Étape 14.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.1.2.1

Factorisez $72$ à partir de $- 216$ .

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Étape 14.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Étape 14.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 3}$

Étape 14.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Étape 15

$x = - 12$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 12$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 12$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 12$ dans l’expression.

$f (- 12) = \frac{{(- 12)}^{2}}{(- 12) + 6}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$f (- 12) = \frac{144}{- 12 + 6}$

Étape 16.2.2

Additionnez $- 12$ et $6$ .

$f (- 12) = \frac{144}{- 6}$

Étape 16.2.3

Divisez $144$ par $- 6$ .

$f (- 12) = - 24$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $- 24$ .

$y = - 24$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 6}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(- 12, - 24)$ est un maximum local

Étape 18