Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 3.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 3.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

Étape 3.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.2.4

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 5.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x - \frac{1}{x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 6.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $x - \frac{1}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $x - \frac{1}{x} = 0$ par $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Étape 6.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Étape 6.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 1 = 0 x$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 6.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 6.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 6.4.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 6.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 6.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 6.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1} + 1$

Étape 10.1.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1 + 1$

Étape 10.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$

Étape 11

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

Étape 12.2.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ est un minimum local

Étape 14