Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Associez $5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{10}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $2 x^{4}$ par $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 x^{4} - 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Associez $- 4$ et $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{- 12}{4}$ et $x^{3}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 2.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{4} + \frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.7.2.4

Divisez $- 3 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 1$

Étape 3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 2$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.5

Associez $\frac{10}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.6

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 5.1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.2.6.2.4

Divisez $2 x^{4}$ par $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 x^{4} - 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.4

Associez $- 4$ et $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.6

Associez $\frac{- 12}{4}$ et $x^{3}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 5.1.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{4} + \frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.7.2.4

Divisez $- 3 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{4}$ .

$x (2 x^{3}) - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + x (- 3 x) + 2 x = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2})$ .

$x (2 x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Étape 6.2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 3 x)$ .

$x (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Étape 6.2.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x) + x \cdot 2$ .

$x (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 6.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Étape 6.2.2.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.2.2.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.2.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.2.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.2.2.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.2.2.3.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 2 - 3 - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.2.2.3.6

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$- 5 - 3 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.2.2.3.7

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 5 + 3 + 2$

Étape 6.2.2.3.8

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$- 2 + 2$

Étape 6.2.2.3.9

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 6.2.2.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{x + 1}$

Étape 6.2.2.5

Divisez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ par $x + 1$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

Étape 6.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 6.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 6.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Étape 6.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 6.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 6.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 6.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{2} - 5 x$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 6.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$

Étape 6.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 6.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 2$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 6.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Étape 6.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 5 x + 2$

Étape 6.2.2.6

Écrivez $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ comme un ensemble de facteurs.

$x ((x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez.

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Étape 6.2.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.3.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.3.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$x ((x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)) = 0$

Étape 6.2.3.1.1.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$x ((x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2)) = 0$

Étape 6.2.3.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x ((x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2)) = 0$

Étape 6.2.3.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.3.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2)) = 0$

Étape 6.2.3.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x ((x + 1) (x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1))) = 0$

Étape 6.2.3.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$x ((x + 1) ((2 x - 1) (x - 2))) = 0$

Étape 6.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x + 1) (2 x - 1) (x - 2)) = 0$

Étape 6.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 1) (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6.6

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 6.6.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 6.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 1) (2 x - 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, \frac{1}{2}, 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, \frac{1}{2}, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$8 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 10.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 10.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 9 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$0 + 0 - 6 \cdot 0 + 2$

Étape 10.1.5

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 2$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 10.2.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5}}{5} - \frac{3 {(0)}^{4}}{4} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $\frac{2 {(0)}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(0)}^{4}}{4} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $\frac{2 {(0)}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4}}{4} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $\frac{3 {(0)}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(0)}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $\frac{3 {(0)}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.5

Écrivez $- {(0)}^{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3}}{1} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $\frac{- {(0)}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.7

Multipliez $\frac{- {(0)}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.8

Écrivez ${(0)}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2}}{1}$

Étape 12.2.1.9

Multipliez $\frac{{(0)}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 12.2.1.10

Multipliez $\frac{{(0)}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.1.11

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 4$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.1.12

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.1.13

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 \cdot 4 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $2 \cdot 0 \cdot 4$ .

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Étape 12.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 \cdot 4 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.2.2

Multipliez $0$ par $4$ .

$f (0) = \frac{0 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 3 \cdot 0 \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.4

Multipliez $- 3 \cdot 0 \cdot 5$ .

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Étape 12.2.3.4.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.4.2

Multipliez $0$ par $5$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.6

Multipliez $- 0 \cdot 20$ .

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Étape 12.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.6.2

Multipliez $0$ par $20$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \cdot 20}{20}$

Étape 12.2.3.8

Multipliez $0$ par $20$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0}{20}$

Étape 12.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.4.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0}{20}$

Étape 12.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0}{20}$

Étape 12.2.4.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = \frac{0}{20}$

Étape 12.2.4.4

Divisez $0$ par $20$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 {(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 2$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 2$

Étape 14.1.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 2$

Étape 14.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 9 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 2$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 8 - 9 - 6 \cdot - 1 + 2$

Étape 14.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 8 - 9 + 6 + 2$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Soustrayez $9$ de $- 8$ .

$- 17 + 6 + 2$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 17$ et $6$ .

$- 11 + 2$

Étape 14.2.3

Additionnez $- 11$ et $2$ .

$- 9$

Étape 15

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Multipliez $\frac{2 {(- 1)}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $\frac{2 {(- 1)}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $\frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $\frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2.1.5

Écrivez $- {(- 1)}^{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3}}{1} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2.1.6

Multipliez $\frac{- {(- 1)}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2.1.7

Multipliez $\frac{- {(- 1)}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + {(- 1)}^{2}$

Étape 16.2.1.8

Écrivez ${(- 1)}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2}}{1}$

Étape 16.2.1.9

Multipliez $\frac{{(- 1)}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 16.2.1.10

Multipliez $\frac{{(- 1)}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.1.11

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 4$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.1.12

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.1.13

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 1 \cdot 4 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.2

Multipliez $2 \cdot - 1 \cdot 4$ .

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Étape 16.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 2 \cdot 4 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 3 \cdot 1 \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.4

Multipliez $- 3 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 16.2.3.4.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 3 \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.4.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ .

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Étape 16.2.3.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + (- 1) {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + {(- 1)}^{1 + 3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.5.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + {(- 1)}^{4} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 1 \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.7

Multipliez $20$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 20 + 1 \cdot 20}{20}$

Étape 16.2.3.9

Multipliez $20$ par $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 20 + 20}{20}$

Étape 16.2.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.4.1

Soustrayez $15$ de $- 8$ .

$f (- 1) = \frac{- 23 + 20 + 20}{20}$

Étape 16.2.4.2

Additionnez $- 23$ et $20$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 20}{20}$

Étape 16.2.4.3

Additionnez $- 3$ et $20$ .

$f (- 1) = \frac{17}{20}$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $\frac{17}{20}$ .

$y = \frac{17}{20}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 \frac{1}{2^{3}} - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 (\frac{1}{8}) - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 18.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{1}{8}) - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$1 - 9 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 9 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 - 9 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.8

Associez $- 9$ et $\frac{1}{4}$ .

$1 + \frac{- 9}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{9}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Étape 18.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$1 - \frac{9}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 2$

Étape 18.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$1 - \frac{9}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 2$

Étape 18.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Étape 18.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 18.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Étape 18.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Étape 18.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Étape 18.2.4

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3}{1} + 2$

Étape 18.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Étape 18.2.6

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 2$

Étape 18.2.7

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Étape 18.2.8

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 18.2.9

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 9 - 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 18.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.4.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{4 - 9 - 12 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 18.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 - 9 - 12 + 8}{4}$

Étape 18.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.5.1

Soustrayez $9$ de $4$ .

$\frac{- 5 - 12 + 8}{4}$

Étape 18.5.2

Soustrayez $12$ de $- 5$ .

$\frac{- 17 + 8}{4}$

Étape 18.5.3

Additionnez $- 17$ et $8$ .

$\frac{- 9}{4}$

Étape 18.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{4}$

Étape 19

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.1

Multipliez $\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2.1.2

Multipliez $\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2.1.3

Multipliez $\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2.1.4

Multipliez $\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2.1.5

Écrivez $- {(\frac{1}{2})}^{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2.1.6

Multipliez $\frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2.1.7

Multipliez $\frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 20.2.1.8

Écrivez ${(\frac{1}{2})}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$

Étape 20.2.1.9

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 20.2.1.10

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

Étape 20.2.1.11

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.1.12

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.1.13

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1^{5}}{2^{5}}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2^{5}}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{32}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2 (16)}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2 \cdot 16}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{16} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 20.2.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4 (4)} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 \frac{1^{4}}{2^{4}} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{4}} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.8

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{16}) \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.9

Associez $- 3$ et $\frac{1}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{- 3}{16} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{3}{16} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.11

Multipliez $- \frac{3}{16} \cdot 5$ .

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Étape 20.2.3.11.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 5 (\frac{3}{16}) - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.11.2

Associez $- 5$ et $\frac{3}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{- 5 \cdot 3}{16} - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.11.3

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{- 15}{16} - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{1}{2^{3}} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.15

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{1}{8} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 20.2.3.16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{8} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.16.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.16.3

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 5) + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.16.4

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 5) + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.16.5

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{2} \cdot 5 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.17

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1 \cdot 5}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.18

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 5}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.20

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.21

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{2^{2}} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.22

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot 20}{20}$

Étape 20.2.3.23

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 20.2.3.23.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (5))}{20}$

Étape 20.2.3.23.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 5)}{20}$

Étape 20.2.3.23.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + 5}{20}$

Étape 20.2.4

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 20.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + 5}{20}$

Étape 20.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + 5}{20}$

Étape 20.2.4.3

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{8}) + 5}{20}$

Étape 20.2.4.4

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + 5}{20}$

Étape 20.2.4.5

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5}{1}}{20}$

Étape 20.2.4.6

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5}{1} \cdot \frac{16}{16}}{20}$

Étape 20.2.4.7

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 16}{16}}{20}$

Étape 20.2.4.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{16} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 16}{16}}{20}$

Étape 20.2.4.9

Multipliez $2$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{16} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{16} + \frac{5 \cdot 16}{16}}{20}$

Étape 20.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 - 15 - 5 \cdot 8 + 5 \cdot 16}{16}}{20}$

Étape 20.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.6.1

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 - 15 - 40 + 5 \cdot 16}{16}}{20}$

Étape 20.2.6.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 - 15 - 40 + 80}{16}}{20}$

Étape 20.2.7

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 20.2.7.1

Soustrayez $15$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 11 - 40 + 80}{16}}{20}$

Étape 20.2.7.2

Soustrayez $40$ de $- 11$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 51 + 80}{16}}{20}$

Étape 20.2.7.3

Additionnez $- 51$ et $80$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{29}{16}}{20}$

Étape 20.2.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{29}{16} \cdot \frac{1}{20}$

Étape 20.2.9

Multipliez $\frac{29}{16} \cdot \frac{1}{20}$ .

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Étape 20.2.9.1

Multipliez $\frac{29}{16}$ par $\frac{1}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{29}{16 \cdot 20}$

Étape 20.2.9.2

Multipliez $16$ par $20$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{29}{320}$

Étape 20.2.10

La réponse finale est $\frac{29}{320}$ .

$y = \frac{29}{320}$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$8 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 2$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 2$

Étape 22.1.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$64 - 9 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 2$

Étape 22.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$64 - 9 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 2$

Étape 22.1.4

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$64 - 36 - 6 \cdot 2 + 2$

Étape 22.1.5

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$64 - 36 - 12 + 2$

Étape 22.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 22.2.1

Soustrayez $36$ de $64$ .

$28 - 12 + 2$

Étape 22.2.2

Soustrayez $12$ de $28$ .

$16 + 2$

Étape 22.2.3

Additionnez $16$ et $2$ .

$18$

Étape 23

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5}}{5} - \frac{3 {(2)}^{4}}{4} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 24.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 24.2.1.1

Multipliez $\frac{2 {(2)}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(2)}^{4}}{4} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2.1.2

Multipliez $\frac{2 {(2)}^{5}}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4}}{4} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2.1.3

Multipliez $\frac{3 {(2)}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(2)}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2.1.4

Multipliez $\frac{3 {(2)}^{4}}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2.1.5

Écrivez $- {(2)}^{3}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3}}{1} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2.1.6

Multipliez $\frac{- {(2)}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2.1.7

Multipliez $\frac{- {(2)}^{3}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + {(2)}^{2}$

Étape 24.2.1.8

Écrivez ${(2)}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2}}{1}$

Étape 24.2.1.9

Multipliez $\frac{{(2)}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 24.2.1.10

Multipliez $\frac{{(2)}^{2}}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.1.11

Réorganisez les facteurs de $5 \cdot 4$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.1.12

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.1.13

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.3.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 24.2.3.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{5}$ .

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Étape 24.2.3.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2) = \frac{2^{1 + 5} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.1.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$f (2) = \frac{2^{6} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$f (2) = \frac{64 \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.3

Multipliez $64$ par $4$ .

$f (2) = \frac{256 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = \frac{256 - 3 \cdot 16 \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.5

Multipliez $- 3 \cdot 16 \cdot 5$ .

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Étape 24.2.3.5.1

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$f (2) = \frac{256 - 48 \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.5.2

Multipliez $- 48$ par $5$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 1 \cdot 8 \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.7

Multipliez $- 1 \cdot 8 \cdot 20$ .

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Étape 24.2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 8 \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.7.2

Multipliez $- 8$ par $20$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 160 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 160 + 4 \cdot 20}{20}$

Étape 24.2.3.9

Multipliez $4$ par $20$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 160 + 80}{20}$

Étape 24.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.4.1

Soustrayez $240$ de $256$ .

$f (2) = \frac{16 - 160 + 80}{20}$

Étape 24.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 24.2.4.2.1

Soustrayez $160$ de $16$ .

$f (2) = \frac{- 144 + 80}{20}$

Étape 24.2.4.2.2

Additionnez $- 144$ et $80$ .

$f (2) = \frac{- 64}{20}$

Étape 24.2.4.3

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $20$ .

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Étape 24.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 64$ .

$f (2) = \frac{4 (- 16)}{20}$

Étape 24.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 24.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$f (2) = \frac{4 \cdot - 16}{4 \cdot 5}$

Étape 24.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{4 \cdot - 16}{4 \cdot 5}$

Étape 24.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \frac{- 16}{5}$

Étape 24.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (2) = - \frac{16}{5}$

Étape 24.2.5

La réponse finale est $- \frac{16}{5}$ .

$y = - \frac{16}{5}$

Étape 25

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(- 1, \frac{17}{20})$ est un maximum local

$(\frac{1}{2}, \frac{29}{320})$ est un maximum local

$(2, - \frac{16}{5})$ est un minimum local

Étape 26