Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x - 1)}^{3} + 2$

Étape 1

Écrivez $y = {(x - 1)}^{3} + 2$ comme une fonction.

$f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x - 1)}^{3} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $3 {(x - 1)}^{2}$ et $0$ .

$3 {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$3 ((x - 1) (x - 1))$

Étape 2.4.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 2.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 2.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.4.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.4.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.4.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 2.4.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 2.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Étape 2.4.6

Simplifiez

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Étape 2.4.6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 6 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x - 6$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 6$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x - 1)}^{3} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 5.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2} + 0$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Additionnez $3 {(x - 1)}^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 1)}^{2}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Étape 5.1.4.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Étape 5.1.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Étape 5.1.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.1.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.1.4.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.1.4.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.1.4.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Étape 5.1.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Étape 5.1.4.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 5.1.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Étape 5.1.4.6

Simplifiez

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Étape 5.1.4.6.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Étape 5.1.4.6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 6 x + 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 3 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 6 x + 3$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 3 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (1) = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1) = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 6.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 6.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$3 {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 6.4

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (1) - 6$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - 6$

Étape 10.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 6 x + 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 3$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 3$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 6 \cdot 0 + 3$

Étape 11.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 3$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 3$

Étape 11.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f' (0) = 3$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 6 x + 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 3$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 + 3$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (4) = 48 - 6 \cdot 4 + 3$

Étape 11.3.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f' (4) = 48 - 24 + 3$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.3.2.2.1

Soustrayez $24$ de $48$ .

$f' (4) = 24 + 3$

Étape 11.3.2.2.2

Additionnez $24$ et $3$ .

$f' (4) = 27$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $27$ .

$27$

Étape 11.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 1$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 12