Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x + 2)}^{2} (x - 1)$

Étape 1

Écrivez $y = {(x + 2)}^{2} (x - 1)$ comme une fonction.

$f (x) = {(x + 2)}^{2} (x - 1)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) (x - 1)]$

Étape 2.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x - 1)]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x - 1)]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1)]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x - 1)]$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 4 x + 4) (x - 1)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$ et $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 2.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $x^{2} + 4 x + 4$ par $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 2.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.5.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.5.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.5.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + 0)$

Étape 2.5.11

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.6.4

Associez des termes.

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Étape 2.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.6.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.6.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 \cdot x - 1 \cdot 4$

Étape 2.6.4.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4$

Étape 2.6.4.8

Additionnez $- 2 x$ et $4 x$ .

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} + 2 x - 4$

Étape 2.6.4.9

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 4 x + 4 + 2 x - 4$

Étape 2.6.4.10

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$3 x^{2} + 6 x + 4 - 4$

Étape 2.6.4.11

Soustrayez $4$ de $4$ .

$3 x^{2} + 6 x + 0$

Étape 2.6.4.12

Additionnez $3 x^{2} + 6 x$ et $0$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x + 2) (x + 2) (x - 1))$

Étape 5.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x - 1))$

Étape 5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x - 1))$

Étape 5.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1))$

Étape 5.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1))$

Étape 5.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 1))$

Étape 5.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x - 1))$

Étape 5.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 4 x + 4) (x - 1))$

Étape 5.1.4

$f' (x) = (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 5.1.5

Différenciez.

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Étape 5.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 5.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 4 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 5.1.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 4 x + 4) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 5.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 4 x + 4) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 5.1.5.4.2

Multipliez $x^{2} + 4 x + 4$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 5.1.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 5.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 5.1.5.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 5.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 5.1.5.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 5.1.5.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4 + 0)$

Étape 5.1.5.11

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x + 4)$

Étape 5.1.6

Simplifiez

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Étape 5.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Étape 5.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 4$

Étape 5.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 5.1.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x \cdot x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 (x \cdot x) - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.6.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 4 - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.6.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 \cdot x - 1 \cdot 4$

Étape 5.1.6.4.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4$

Étape 5.1.6.4.8

Additionnez $- 2 x$ et $4 x$ .

$f' (x) = x^{2} + 4 x + 4 + 2 x^{2} + 2 x - 4$

Étape 5.1.6.4.9

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x + 4 + 2 x - 4$

Étape 5.1.6.4.10

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 4 - 4$

Étape 5.1.6.4.11

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 0$

Étape 5.1.6.4.12

Additionnez $3 x^{2} + 6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (0) + 6$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 6$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$6$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {((0) + 2)}^{2} ((0) - 1)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2^{2} ((0) - 1)$

Étape 12.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (0) = 4 ((0) - 1)$

Étape 12.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = 4 \cdot - 1$

Étape 12.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (0) = - 4$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 2) + 6$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$- 12 + 6$

Étape 14.2

Additionnez $- 12$ et $6$ .

$- 6$

Étape 15

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {((- 2) + 2)}^{2} ((- 2) - 1)$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- 2) = 0^{2} ((- 2) - 1)$

Étape 16.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 1)$

Étape 16.2.3

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = 0 \cdot - 3$

Étape 16.2.4

Multipliez $0$ par $- 3$ .

$f (- 2) = 0$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = {(x + 2)}^{2} (x - 1)$ .

$(0, - 4)$ est un minimum local

$(- 2, 0)$ est un maximum local

Étape 18