Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{11 x}$

Étape 1

Écrivez $y = e^{11 x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{11 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 11 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $11 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [11 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [11 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $11 x$ .

$e^{11 x} \frac{d}{d x} [11 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{11 x} (11 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{11 x} (11 \cdot 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $11$ par $1$ .

$e^{11 x} \cdot 11$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $11$ à gauche de $e^{11 x}$ .

$11 e^{11 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 e^{11 x}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [e^{11 x}]$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} (e^{11 x})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 11 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $11 x$ .

$f'' (x) = 11 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (11 x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 11 (e^{u} \frac{d}{d x} (11 x))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $11 x$ .

$f'' (x) = 11 (e^{11 x} \frac{d}{d x} (11 x))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 11 e^{11 x} (11 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.2

Multipliez $11$ par $11$ .

$f'' (x) = 121 e^{11 x} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 121 e^{11 x} \cdot 1$

Étape 3.3.4

Multipliez $121$ par $1$ .

$f'' (x) = 121 e^{11 x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$11 e^{11 x} = 0$

Étape 5

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 6

Aucun extremum local

Étape 7