Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $y = e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}} x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- 0.5 x^{2}}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.4

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $x$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x \cdot x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{1} x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{1 + 2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ comme $- e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- 0.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}])$

Étape 2.3.3

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x)))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} (- x))$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + 1 (e^{- 0.5 x^{2}} (x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $e^{- 0.5 x^{2}}$ par $1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Remettez dans l’ordre $e^{- 0.5 x^{2}}$ et $x$ .

$2 x e^{- 0.5 x^{2}} + x e^{- 0.5 x^{2}} + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $2 x e^{- 0.5 x^{2}}$ et $x e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$3 x e^{- 0.5 x^{2}} + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{- 0.5 x^{2}} x - e^{- 0.5 x^{2}} x^{3}$

Étape 2.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{- 0.5 x^{2}} x - e^{- 0.5 x^{2}} x^{3}$ .

$3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x e^{- 0.5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x e^{- 0.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 3 (x (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.4

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 (x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$f'' (x) = 3 (x (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 (x \cdot x (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 (x \cdot x (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 3 (x^{1 + 1} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.12

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.13

Réécrivez $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ comme $- e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.2.14

Multipliez $e^{- 0.5 x^{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 0.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.4

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.7

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x \cdot x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.8.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.3.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x \cdot x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{1 + 3} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{4} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{4} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.10

Réécrivez $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ comme $- e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}}) - (x^{4} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}})) + 3 e^{- 0.5 x^{2}} - (x^{4} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (- e^{- 0.5 x^{2}})) + 3 e^{- 0.5 x^{2}} - (x^{4} (- e^{- 0.5 x^{2}})) - (e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - 3 (x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}})) + 3 e^{- 0.5 x^{2}} - (x^{4} (- e^{- 0.5 x^{2}})) - (e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + 3 e^{- 0.5 x^{2}} + 1 (x^{4} (e^{- 0.5 x^{2}})) - (e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + 3 e^{- 0.5 x^{2}} + x^{4} e^{- 0.5 x^{2}} - (e^{- 0.5 x^{2}} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + 3 e^{- 0.5 x^{2}} + x^{4} e^{- 0.5 x^{2}} - 3 (e^{- 0.5 x^{2}} (x^{2}))$

Étape 3.4.3.5

Soustrayez $3 e^{- 0.5 x^{2}} x^{2}$ de $- 3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}$ .

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Étape 3.4.3.5.1

Déplacez $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} - 3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + 3 e^{- 0.5 x^{2}} + x^{4} e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 3.4.3.5.2

Soustrayez $3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}$ de $- 3 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + 3 e^{- 0.5 x^{2}} + x^{4} e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 6 e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}} x^{4} + 3 e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 6 e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} + e^{- 0.5 x^{2}} x^{4} + 3 e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} e^{- 0.5 x^{2}} + x^{4} e^{- 0.5 x^{2}} + 3 e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}} x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

$e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.4

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.6

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} (- x)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.7

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.7.1

Déplacez $x$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x \cdot x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.7.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{1} x^{2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{1 + 2} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (e^{- 0.5 x^{2}} \cdot (- 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- 1 \cdot e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- 0.5 x^{2}}$ comme $- e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- 0.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}]$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x^{2}}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}])$

Étape 5.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}])$

Étape 5.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 0.5 x^{2}$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 0.5 x^{2}])$

Étape 5.1.3.3

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} (- 0.5 (2 x)))$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) - (e^{- 0.5 x^{2}} (- x))$

Étape 5.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + 1 (e^{- 0.5 x^{2}} (x))$

Étape 5.1.3.7

Multipliez $e^{- 0.5 x^{2}}$ par $1$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} (2 x) + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}}) + e^{- 0.5 x^{2}} x$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.4.1.1

Remettez dans l’ordre $e^{- 0.5 x^{2}}$ et $x$ .

$2 x e^{- 0.5 x^{2}} + x e^{- 0.5 x^{2}} + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 5.1.4.1.2

Additionnez $2 x e^{- 0.5 x^{2}}$ et $x e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$3 x e^{- 0.5 x^{2}} + x^{3} (- e^{- 0.5 x^{2}})$

Étape 5.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{- 0.5 x^{2}} x - e^{- 0.5 x^{2}} x^{3}$

Étape 5.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{- 0.5 x^{2}} x - e^{- 0.5 x^{2}} x^{3}$ .

$f' (x) = 3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x e^{- 0.5 x^{2}}$ à partir de $3 x e^{- 0.5 x^{2}} - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x e^{- 0.5 x^{2}}$ à partir de $3 x e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$x e^{- 0.5 x^{2}} (3) - x^{3} e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $x e^{- 0.5 x^{2}}$ à partir de $- x^{3} e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$x e^{- 0.5 x^{2}} (3) + x e^{- 0.5 x^{2}} (- x^{2}) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $x e^{- 0.5 x^{2}}$ à partir de $x e^{- 0.5 x^{2}} (3) + x e^{- 0.5 x^{2}} (- x^{2})$ .

$x e^{- 0.5 x^{2}} (3 - x^{2}) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

$3 - x^{2} = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $e^{- 0.5 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $e^{- 0.5 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $e^{- 0.5 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 0.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 6.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 0.5 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 6.6

Définissez $3 - x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $3 - x^{2}$ égal à $0$ .

$3 - x^{2} = 0$

Étape 6.6.2

Résolvez $3 - x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 3$

Étape 6.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x^{2} = 3$

Étape 6.6.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 6.6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 6.6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 6.6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{- 0.5 x^{2}} (3 - x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 {(0)}^{2} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + {(0)}^{4} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 6 \cdot 0 e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + {(0)}^{4} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + {(0)}^{4} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{- 0.5 \cdot 0} + {(0)}^{4} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 0.5$ par $0$ .

$0 e^{0} + {(0)}^{4} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + {(0)}^{4} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + {(0)}^{4} e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 e^{- 0.5 {(0)}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 e^{- 0.5 \cdot 0} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.9

Multipliez $- 0.5$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.11

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 3 e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 10.1.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 3 e^{- 0.5 \cdot 0}$

Étape 10.1.13

Multipliez $- 0.5$ par $0$ .

$0 + 0 + 3 e^{0}$

Étape 10.1.14

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 3 \cdot 1$

Étape 10.1.15

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + 0 + 3$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 3$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = e^{- 0.5 {(0)}^{2}} {(0)}^{2} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = e^{- 0.5 \cdot 0} {(0)}^{2} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 0.5$ par $0$ .

$f (0) = e^{0} {(0)}^{2} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 12.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 1 {(0)}^{2} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 12.2.1.4

Multipliez ${(0)}^{2}$ par $1$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 12.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - e^{- 0.5 {(0)}^{2}}$

Étape 12.2.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - e^{- 0.5 \cdot 0}$

Étape 12.2.1.7

Multipliez $- 0.5$ par $0$ .

$f (0) = 0 - e^{0}$

Étape 12.2.1.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 12.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = 0 - 1$

Étape 12.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 {(\sqrt{3})}^{2} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 6 \cdot 3^{1} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$- 6 \cdot 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$- 18 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 18 e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{1}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$- 18 e^{- 1.5} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{e^{1.5}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.6

Associez $- 18$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$\frac{- 18}{e^{1.5}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + {(\sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 14.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{4}{2}} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 14.1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2}{1}} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.8.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{2} e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 14.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{1}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.11

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 1.5} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 \frac{1}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.13

Associez $9$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 14.1.14

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 14.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 14.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{1}}$

Étape 14.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3}$

Étape 14.1.15

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 1.5}$

Étape 14.1.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 \frac{1}{e^{1.5}}$

Étape 14.1.17

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + \frac{3}{e^{1.5}}$

Étape 14.2

Associez les fractions.

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Étape 14.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 18 + 9 + 3}{e^{1.5}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Additionnez $- 18$ et $9$ .

$\frac{- 9 + 3}{e^{1.5}}$

Étape 14.2.2.2

Additionnez $- 9$ et $3$ .

$\frac{- 6}{e^{1.5}}$

Étape 14.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{e^{1.5}}$

Étape 15

$x = \sqrt{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{3}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{1}} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$f (\sqrt{3}) = e^{- 1.5} {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot {(\sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 16.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3^{\frac{2}{2}} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3^{\frac{2}{2}} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3 - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3 - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.5

Associez $\frac{1}{e^{1.5}}$ et $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 16.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 16.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 16.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 16.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 16.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 16.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{1}}$

Étape 16.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3}$

Étape 16.2.1.7

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 1.5}$

Étape 16.2.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - \frac{1}{e^{1.5}}$

Étape 16.2.2

Associez les fractions.

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Étape 16.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 1}{e^{1.5}}$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{2}{e^{1.5}}$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $\frac{2}{e^{1.5}}$ .

$y = \frac{2}{e^{1.5}}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 {(- \sqrt{3})}^{2} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$- 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$- 6 {\sqrt{3}}^{2} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 6 \cdot 3^{1} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$- 6 \cdot 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.5

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$- 18 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$- 18 e^{- 0.5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 18 e^{- 0.5 (1 {\sqrt{3}}^{2})} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.8

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$- 18 e^{- 0.5 {\sqrt{3}}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 18.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 18 e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3^{1}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$- 18 e^{- 0.5 \cdot 3} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.10

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$- 18 e^{- 1.5} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{e^{1.5}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.12

Associez $- 18$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$\frac{- 18}{e^{1.5}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + {(- \sqrt{3})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.14

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 1 {\sqrt{3}}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.16

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + {\sqrt{3}}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 18.1.17.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{4}{2}} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 18.1.17.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.1.17.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{\frac{2}{1}} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.17.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 3^{2} e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.18

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.19

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.20

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 (1 {\sqrt{3}}^{2})} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.21

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 {\sqrt{3}}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.22

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 18.1.22.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.22.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.22.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.22.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.22.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.22.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3^{1}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.22.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 0.5 \cdot 3} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.23

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 e^{- 1.5} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.24

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + 9 \frac{1}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.25

Associez $9$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 18.1.26

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 18.1.27

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 (1 {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 18.1.28

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 18.1.29

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 18.1.29.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 18.1.29.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 18.1.29.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 18.1.29.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.29.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 18.1.29.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3^{1}}$

Étape 18.1.29.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 0.5 \cdot 3}$

Étape 18.1.30

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 e^{- 1.5}$

Étape 18.1.31

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + 3 \frac{1}{e^{1.5}}$

Étape 18.1.32

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$- \frac{18}{e^{1.5}} + \frac{9}{e^{1.5}} + \frac{3}{e^{1.5}}$

Étape 18.2

Associez les fractions.

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Étape 18.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 18 + 9 + 3}{e^{1.5}}$

Étape 18.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.2.2.1

Additionnez $- 18$ et $9$ .

$\frac{- 9 + 3}{e^{1.5}}$

Étape 18.2.2.2

Additionnez $- 9$ et $3$ .

$\frac{- 6}{e^{1.5}}$

Étape 18.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{e^{1.5}}$

Étape 19

$x = - \sqrt{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{3}$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 (1 {\sqrt{3}}^{2})} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 {\sqrt{3}}^{2}} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 20.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3^{1}} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 0.5 \cdot 3} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.5

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = e^{- 1.5} {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot {(- \sqrt{3})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot {\sqrt{3}}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 20.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3^{\frac{2}{2}} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3^{\frac{2}{2}} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3 - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{e^{1.5}} \cdot 3 - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.11

Associez $\frac{1}{e^{1.5}}$ et $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 20.2.1.12

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 20.2.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 (1 {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 20.2.1.14

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 20.2.1.15

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 20.2.1.15.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 20.2.1.15.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 20.2.1.15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 20.2.1.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 20.2.1.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3^{1}}$

Étape 20.2.1.15.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 0.5 \cdot 3}$

Étape 20.2.1.16

Multipliez $- 0.5$ par $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - e^{- 1.5}$

Étape 20.2.1.17

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{e^{1.5}} - \frac{1}{e^{1.5}}$

Étape 20.2.2

Associez les fractions.

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Étape 20.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 1}{e^{1.5}}$

Étape 20.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{2}{e^{1.5}}$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $\frac{2}{e^{1.5}}$ .

$y = \frac{2}{e^{1.5}}$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{- 0.5 x^{2}} x^{2} - e^{- 0.5 x^{2}}$ .

$(0, - 1)$ est un minimum local

$(\sqrt{3}, \frac{2}{e^{1.5}})$ est un maximum local

$(- \sqrt{3}, \frac{2}{e^{1.5}})$ est un maximum local

Étape 22