Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{9}{5} x^{5} - \frac{47}{3} x^{3} + 10 x$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{9}{5} x^{5} - \frac{47}{3} x^{3} + 10 x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{9}{5} x^{5} - \frac{47}{3} x^{3} + 10 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{9}{5} x^{5} - \frac{47}{3} x^{3} + 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{9}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{9}{5} x^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{9}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{9}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.3

Associez $5$ et $\frac{9}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{45}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{45}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{45 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $45$ et $5$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $45 x^{4}$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.2.6.2.4

Divisez $9 x^{4}$ par $1$ .

$9 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{47}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{47}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{47}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 x^{4} - \frac{47}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 x^{4} - \frac{47}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 x^{4} - 3 (\frac{47}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{47}{3}$ .

$9 x^{4} + \frac{- 3 \cdot 47}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 3$ par $47$ .

$9 x^{4} + \frac{- 141}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{- 141}{3}$ et $x^{2}$ .

$9 x^{4} + \frac{- 141 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 141$ et $3$ .

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Étape 2.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 141 x^{2}$ .

$9 x^{4} + \frac{3 (- 47 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$9 x^{4} + \frac{3 (- 47 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 x^{4} + \frac{3 (- 47 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 x^{4} + \frac{- 47 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.3.7.2.4

Divisez $- 47 x^{2}$ par $1$ .

$9 x^{4} - 47 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$9 x^{4} - 47 x^{2} + 10$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{4} - 47 x^{2} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 47 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 47 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 47 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 47 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$f'' (x) = 36 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 47 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 47 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 47$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 47 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 47 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{3} - 47 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{3} - 47 (2 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 47$ .

$f'' (x) = 36 x^{3} - 94 x + \frac{d}{d x} (10)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{3} - 94 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $36 x^{3} - 94 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{3} - 94 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{9}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{9}{5} x^{5}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{9}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{9}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{9}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{9}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5 \cdot 9}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $5$ par $9$ .

$f' (x) = \frac{45}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.5

Associez $\frac{45}{5}$ et $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{45 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.6

Annulez le facteur commun à $45$ et $5$ .

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Étape 5.1.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $45 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 (9 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f' (x) = \frac{5 (9 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{5 (9 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{9 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.2.6.2.4

Divisez $9 x^{4}$ par $1$ .

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{47}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{47}{3} x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- \frac{47}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{47}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{47}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 9 x^{4} - \frac{47}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 9 x^{4} - \frac{47}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 9 x^{4} - 3 (\frac{47}{3}) \cdot x^{2} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{47}{3}$ .

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{- 3 \cdot 47}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $47$ .

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{- 141}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.6

Associez $\frac{- 141}{3}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{- 141 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 141$ et $3$ .

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Étape 5.1.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 141 x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{3 (- 47 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{3 (- 47 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{3 (- 47 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 9 x^{4} + \frac{- 47 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.3.7.2.4

Divisez $- 47 x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = 9 x^{4} - 47 x^{2} + \frac{d}{d x} (10 x)$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 5.1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 \cdot 1$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f' (x) = 9 x^{4} - 47 x^{2} + 10$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $9 x^{4} - 47 x^{2} + 10$ .

$9 x^{4} - 47 x^{2} + 10$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 = 0$

Étape 6.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$9 u^{2} - 47 u + 10 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 6.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 10 = 90$ et dont la somme est $b = - 47$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $- 47$ à partir de $- 47 u$ .

$9 u^{2} - 47 u + 10 = 0$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez $- 47$ comme $- 2$ plus $- 45$

$9 u^{2} + (- 2 - 45) u + 10 = 0$

Étape 6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 u^{2} - 2 u - 45 u + 10 = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 u^{2} - 2 u) - 45 u + 10 = 0$

Étape 6.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (9 u - 2) - 5 (9 u - 2) = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 2$ .

$(9 u - 2) (u - 5) = 0$

Étape 6.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 u - 2 = 0$

$u - 5 = 0$

Étape 6.5

Définissez $9 u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $9 u - 2$ égal à $0$ .

$9 u - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $9 u - 2 = 0$ pour $u$ .

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Étape 6.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$9 u = 2$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $9 u = 2$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 u = 2$ par $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{2}{9}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 u}{9} = \frac{2}{9}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{2}{9}$

Étape 6.6

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 6.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 u - 2) (u - 5) = 0$ vraie.

$u = \frac{2}{9}, 5$

Étape 6.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{2}{9}$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Étape 6.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{2}{9}$

Étape 6.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{9}}$

Étape 6.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2}{9}}$ .

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Étape 6.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

Étape 6.10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.10.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 6.10.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 6.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 6.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 6.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 6.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 5$

Étape 6.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 5$

Étape 6.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 6.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 6.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 6.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 6.13

La solution à $9 x^{4} - 47 x^{2} + 10 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{\sqrt{2}}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{\sqrt{2}}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{\sqrt{2}}{3}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$36 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$36 \frac{\sqrt{2^{3}}}{3^{3}} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$36 \frac{\sqrt{8}}{3^{3}} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 10.1.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$36 \frac{\sqrt{4 (2)}}{3^{3}} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$36 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3^{3}} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$36 \frac{2 \sqrt{2}}{3^{3}} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$36 \frac{2 \sqrt{2}}{27} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 10.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$9 (4) \frac{2 \sqrt{2}}{27} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.4.2

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$9 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{2}}{9 \cdot 3} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{2}}{9 \cdot 3} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.5

Associez $4$ et $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{2})}{3} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3} - 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.7

Associez $- 94$ et $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 94 \sqrt{2}}{3}$

Étape 10.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8 \sqrt{2}}{3} - \frac{94 \sqrt{2}}{3}$

Étape 10.2

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \sqrt{2} - 94 \sqrt{2}}{3}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $94 \sqrt{2}$ de $8 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 86 \sqrt{2}}{3}$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{86 \sqrt{2}}{3}$

Étape 11

$x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{5} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.2

Associez.

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{5}}{5 \cdot 3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 \sqrt{2^{5}}}{5 \cdot 3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 \sqrt{32}}{5 \cdot 3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.3.3

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.3.3.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 \sqrt{16 (2)}}{5 \cdot 3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.3.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{5 \cdot 3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 \cdot (4 \sqrt{2})}{5 \cdot 3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.3.5

Multipliez $9$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{36 \sqrt{2}}{5 \cdot 3^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{36 \sqrt{2}}{5 \cdot 243} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $5$ par $243$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{36 \sqrt{2}}{1215} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.6

Annulez le facteur commun à $36$ et $1215$ .

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Étape 12.2.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $36 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 (4 \sqrt{2})}{1215} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.6.2.1

Factorisez $9$ à partir de $1215$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 (4 \sqrt{2})}{9 (135)} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9 (4 \sqrt{2})}{9 \cdot 135} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.8.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot \frac{\sqrt{2^{3}}}{3^{3}} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.8.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot \frac{\sqrt{8}}{3^{3}} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.8.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 12.2.1.8.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot \frac{\sqrt{4 (2)}}{3^{3}} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.8.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3^{3}} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.8.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3^{3}} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{27} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.10

Multipliez $- \frac{47}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{27}$ .

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Étape 12.2.1.10.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{27}$ par $\frac{47}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{2 \sqrt{2} \cdot 47}{27 \cdot 3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.10.2

Multipliez $47$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{94 \sqrt{2}}{27 \cdot 3} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.10.3

Multipliez $27$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{94 \sqrt{2}}{81} + 10 (\frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 12.2.1.11

Associez $10$ et $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{94 \sqrt{2}}{81} + \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 12.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2}}{135}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2}}{135} \cdot \frac{3}{3} - \frac{94 \sqrt{2}}{81} + \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2}}{135}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} - \frac{94 \sqrt{2}}{81} + \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $\frac{94 \sqrt{2}}{81}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} - (\frac{94 \sqrt{2}}{81} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 12.2.2.4

Multipliez $\frac{94 \sqrt{2}}{81}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} + \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 12.2.2.5

Multipliez $\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ par $\frac{135}{135}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} + \frac{10 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{135}{135}$

Étape 12.2.2.6

Multipliez $\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ par $\frac{135}{135}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} + \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 12.2.2.7

Réorganisez les facteurs de $135 \cdot 3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3 \cdot 135} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} + \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 12.2.2.8

Multipliez $3$ par $135$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} + \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 12.2.2.9

Réorganisez les facteurs de $81 \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{5 \cdot 81} + \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 12.2.2.10

Multipliez $5$ par $81$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{405} + \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 12.2.2.11

Multipliez $3$ par $135$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} - \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{405} + \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 12.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 94 \sqrt{2} \cdot 5 + 10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 12.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{12 \sqrt{2} - 94 \sqrt{2} \cdot 5 + 10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $5$ par $- 94$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{12 \sqrt{2} - 470 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 12.2.4.3

Multipliez $135$ par $10$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{12 \sqrt{2} - 470 \sqrt{2} + 1350 \sqrt{2}}{405}$

Étape 12.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 12.2.5.1

Soustrayez $470 \sqrt{2}$ de $12 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 458 \sqrt{2} + 1350 \sqrt{2}}{405}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 458 \sqrt{2}$ et $1350 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{892 \sqrt{2}}{405}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{892 \sqrt{2}}{405}$ .

$y = \frac{892 \sqrt{2}}{405}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 14.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$36 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$36 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$36 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$36 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{3^{3}}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$36 (- \frac{\sqrt{8}}{3^{3}}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.3.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 14.1.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$36 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{3^{3}}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.3.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$36 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3^{3}}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$36 (- \frac{2 \sqrt{2}}{3^{3}}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$36 (- \frac{2 \sqrt{2}}{27}) - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 14.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sqrt{2}}{27}$ dans le numérateur.

$36 \frac{- 2 \sqrt{2}}{27} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.5.2

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$9 (4) \frac{- 2 \sqrt{2}}{27} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.5.3

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$9 \cdot 4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{9 \cdot 3} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{9 \cdot 3} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.6

Associez $4$ et $\frac{- 2 \sqrt{2}}{3}$ .

$\frac{4 (- 2 \sqrt{2})}{3} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.7

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{3} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(8) \sqrt{2}}{3} - 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 14.1.9

Multipliez $- 94 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$ .

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Étape 14.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 94$ .

$- \frac{8 \sqrt{2}}{3} + 94 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 14.1.9.2

Associez $94$ et $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$- \frac{8 \sqrt{2}}{3} + \frac{94 \sqrt{2}}{3}$

Étape 14.2

Simplifiez les termes.

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Étape 14.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 \sqrt{2} + 94 \sqrt{2}}{3}$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 8 \sqrt{2}$ et $94 \sqrt{2}$ .

$\frac{86 \sqrt{2}}{3}$

Étape 15

$x = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{5} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{5}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{3^{5}})) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{3^{5}}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{3^{5}}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot (- \frac{\sqrt{32}}{3^{5}}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.3.3

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.3.3.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{3^{5}}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.3.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{3^{5}}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot (- \frac{4 \sqrt{2}}{3^{5}}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot (- \frac{4 \sqrt{2}}{243}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 16.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 \sqrt{2}}{243}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot \frac{- 4 \sqrt{2}}{243} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.5.2

Factorisez $9$ à partir de $243$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot \frac{- 4 \sqrt{2}}{9 (27)} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{5} \cdot \frac{- 4 \sqrt{2}}{9 \cdot 27} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{1}{5} \cdot \frac{- 4 \sqrt{2}}{27} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{- 4 \sqrt{2}}{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{5 \cdot 27} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.7

Multipliez $5$ par $27$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{(4) \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{3})}^{3} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 16.2.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{3})}^{3}) + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} - \frac{47}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}})) + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.10

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.1.10.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 (\frac{47}{3})) \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.10.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 16.2.1.10.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{47}{3})) \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.10.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.1.11.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{\sqrt{2^{3}}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.11.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{\sqrt{8}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.11.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 16.2.1.11.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{\sqrt{4 (2)}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.11.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.11.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3^{3}} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.12

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{27} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + 1 (\frac{47}{3}) \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{27} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.14

Multipliez $\frac{47}{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + \frac{47}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{27} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.15

Multipliez $\frac{47}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{27}$ .

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Étape 16.2.1.15.1

Multipliez $\frac{47}{3}$ par $\frac{2 \sqrt{2}}{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + \frac{47 (2 \sqrt{2})}{3 \cdot 27} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.15.2

Multipliez $2$ par $47$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + \frac{94 \sqrt{2}}{3 \cdot 27} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.15.3

Multipliez $3$ par $27$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + \frac{94 \sqrt{2}}{81} + 10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$

Étape 16.2.1.16

Multipliez $10 (- \frac{\sqrt{2}}{3})$ .

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Étape 16.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + \frac{94 \sqrt{2}}{81} - 10 \frac{\sqrt{2}}{3}$

Étape 16.2.1.16.2

Associez $- 10$ et $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + \frac{94 \sqrt{2}}{81} + \frac{- 10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 16.2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{135} + \frac{94 \sqrt{2}}{81} - \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 16.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 16.2.2.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2}}{135}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - (\frac{4 \sqrt{2}}{135} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{94 \sqrt{2}}{81} - \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2}}{135}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} + \frac{94 \sqrt{2}}{81} - \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 16.2.2.3

Multipliez $\frac{94 \sqrt{2}}{81}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} + \frac{94 \sqrt{2}}{81} \cdot \frac{5}{5} - \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 16.2.2.4

Multipliez $\frac{94 \sqrt{2}}{81}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} - \frac{10 \sqrt{2}}{3}$

Étape 16.2.2.5

Multipliez $\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ par $\frac{135}{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} - (\frac{10 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{135}{135})$

Étape 16.2.2.6

Multipliez $\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ par $\frac{135}{135}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{135 \cdot 3} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} - \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 16.2.2.7

Réorganisez les facteurs de $135 \cdot 3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3 \cdot 135} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} - \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 16.2.2.8

Multipliez $3$ par $135$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{81 \cdot 5} - \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 16.2.2.9

Réorganisez les facteurs de $81 \cdot 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{5 \cdot 81} - \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 16.2.2.10

Multipliez $5$ par $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{405} - \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{3 \cdot 135}$

Étape 16.2.2.11

Multipliez $3$ par $135$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{405} + \frac{94 \sqrt{2} \cdot 5}{405} - \frac{10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 16.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{2} \cdot 3 + 94 \sqrt{2} \cdot 5 - 10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 16.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.4.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 12 \sqrt{2} + 94 \sqrt{2} \cdot 5 - 10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 16.2.4.2

Multipliez $5$ par $94$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 12 \sqrt{2} + 470 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2} \cdot 135}{405}$

Étape 16.2.4.3

Multipliez $135$ par $- 10$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 12 \sqrt{2} + 470 \sqrt{2} - 1350 \sqrt{2}}{405}$

Étape 16.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 16.2.5.1

Additionnez $- 12 \sqrt{2}$ et $470 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{458 \sqrt{2} - 1350 \sqrt{2}}{405}$

Étape 16.2.5.2

Soustrayez $1350 \sqrt{2}$ de $458 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = \frac{- 892 \sqrt{2}}{405}$

Étape 16.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{3}) = - \frac{892 \sqrt{2}}{405}$

Étape 16.2.6

La réponse finale est $- \frac{892 \sqrt{2}}{405}$ .

$y = - \frac{892 \sqrt{2}}{405}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(\sqrt{5})}^{3} - 94 \sqrt{5}$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$36 \sqrt{5^{3}} - 94 \sqrt{5}$

Étape 18.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$36 \sqrt{125} - 94 \sqrt{5}$

Étape 18.1.3

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 18.1.3.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$36 \sqrt{25 (5)} - 94 \sqrt{5}$

Étape 18.1.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$36 \sqrt{5^{2} \cdot 5} - 94 \sqrt{5}$

Étape 18.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$36 (5 \sqrt{5}) - 94 \sqrt{5}$

Étape 18.1.5

Multipliez $5$ par $36$ .

$180 \sqrt{5} - 94 \sqrt{5}$

Étape 18.2

Soustrayez $94 \sqrt{5}$ de $180 \sqrt{5}$ .

$86 \sqrt{5}$

Étape 19

$x = \sqrt{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{5}$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{5}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{5}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{5} - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{5}$ comme $\sqrt{5^{5}}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot \sqrt{5^{5}} - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot \sqrt{3125} - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.3

Réécrivez $3125$ comme $25^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.3.1

Factorisez $625$ à partir de $3125$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot \sqrt{625 (5)} - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.3.2

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot \sqrt{25^{2} \cdot 5} - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (25 \sqrt{5}) - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 20.2.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $25 \sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (5 (5 \sqrt{5})) - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (5 (5 \sqrt{5})) - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{5}) = 9 \cdot (5 \sqrt{5}) - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.6

Multipliez $5$ par $9$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \cdot \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot {(\sqrt{5})}^{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot \sqrt{5^{3}} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.8

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot \sqrt{125} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.9

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.9.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot \sqrt{25 (5)} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.9.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 5} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot (5 \sqrt{5}) + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.11

Multipliez $- \frac{47}{3} (5 \sqrt{5})$ .

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Étape 20.2.1.11.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} - 5 (\frac{47}{3}) \cdot \sqrt{5} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.11.2

Associez $- 5$ et $\frac{47}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} + \frac{- 5 \cdot 47}{3} \cdot \sqrt{5} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.11.3

Multipliez $- 5$ par $47$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} + \frac{- 235}{3} \cdot \sqrt{5} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.11.4

Associez $\frac{- 235}{3}$ et $\sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} + \frac{- 235 \sqrt{5}}{3} + 10 (\sqrt{5})$

Étape 20.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\sqrt{5}) = 45 \sqrt{5} - \frac{235 \sqrt{5}}{3} + 10 \sqrt{5}$

Étape 20.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 20.2.2.1

Écrivez $45 \sqrt{5}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{45 \sqrt{5}}{1} - \frac{235 \sqrt{5}}{3} + 10 \sqrt{5}$

Étape 20.2.2.2

Multipliez $\frac{45 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{45 \sqrt{5}}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{235 \sqrt{5}}{3} + 10 \sqrt{5}$

Étape 20.2.2.3

Multipliez $\frac{45 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - \frac{235 \sqrt{5}}{3} + 10 \sqrt{5}$

Étape 20.2.2.4

Écrivez $10 \sqrt{5}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - \frac{235 \sqrt{5}}{3} + \frac{10 \sqrt{5}}{1}$

Étape 20.2.2.5

Multipliez $\frac{10 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - \frac{235 \sqrt{5}}{3} + \frac{10 \sqrt{5}}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 20.2.2.6

Multipliez $\frac{10 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - \frac{235 \sqrt{5}}{3} + \frac{10 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 20.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\sqrt{5}) = \frac{45 \sqrt{5} \cdot 3 - 235 \sqrt{5} + 10 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 20.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.4.1

Multipliez $3$ par $45$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{135 \sqrt{5} - 235 \sqrt{5} + 10 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 20.2.4.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{135 \sqrt{5} - 235 \sqrt{5} + 30 \sqrt{5}}{3}$

Étape 20.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 20.2.5.1

Soustrayez $235 \sqrt{5}$ de $135 \sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 100 \sqrt{5} + 30 \sqrt{5}}{3}$

Étape 20.2.5.2

Additionnez $- 100 \sqrt{5}$ et $30 \sqrt{5}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 70 \sqrt{5}}{3}$

Étape 20.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{70 \sqrt{5}}{3}$

Étape 20.2.6

La réponse finale est $- \frac{70 \sqrt{5}}{3}$ .

$y = - \frac{70 \sqrt{5}}{3}$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(- \sqrt{5})}^{3} - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$36 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$36 (- {\sqrt{5}}^{3}) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$36 (- \sqrt{5^{3}}) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$36 (- \sqrt{125}) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.5

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 22.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$36 (- \sqrt{25 (5)}) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$36 (- \sqrt{5^{2} \cdot 5}) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$36 (- (5 \sqrt{5})) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$36 (- 5 \sqrt{5}) - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.8

Multipliez $- 5$ par $36$ .

$- 180 \sqrt{5} - 94 (- \sqrt{5})$

Étape 22.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 94$ .

$- 180 \sqrt{5} + 94 \sqrt{5}$

Étape 22.2

Additionnez $- 180 \sqrt{5}$ et $94 \sqrt{5}$ .

$- 86 \sqrt{5}$

Étape 23

$x = - \sqrt{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{5}$ est un maximum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{5}$ .

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Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{5}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{5} - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{5}}^{5}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (- {\sqrt{5}}^{5}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{5}$ comme $\sqrt{5^{5}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (- \sqrt{5^{5}}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (- \sqrt{3125}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.5

Réécrivez $3125$ comme $25^{2} \cdot 5$ .

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Étape 24.2.1.5.1

Factorisez $625$ à partir de $3125$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (- \sqrt{625 (5)}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.5.2

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (- \sqrt{25^{2} \cdot 5}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (- (25 \sqrt{5})) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.7

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (- 25 \sqrt{5}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.8

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 24.2.1.8.1

Factorisez $5$ à partir de $- 25 \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (5 (- 5 \sqrt{5})) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{9}{5} \cdot (5 (- 5 \sqrt{5})) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{5}) = 9 \cdot (- 5 \sqrt{5}) - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.9

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \cdot \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot {(- \sqrt{5})}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.10

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} - \frac{47}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.11

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 24.2.1.11.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 (\frac{47}{3})) \cdot {\sqrt{5}}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.11.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 24.2.1.11.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{47}{3})) \cdot {\sqrt{5}}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{47}{3}) \cdot {\sqrt{5}}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.11.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + {(- 1)}^{4} (\frac{47}{3}) \cdot {\sqrt{5}}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + 1 (\frac{47}{3}) \cdot {\sqrt{5}}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.13

Multipliez $\frac{47}{3}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{47}{3} \cdot {\sqrt{5}}^{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.14

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{47}{3} \cdot \sqrt{5^{3}} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.15

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{47}{3} \cdot \sqrt{125} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.16

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 24.2.1.16.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{47}{3} \cdot \sqrt{25 (5)} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.16.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{47}{3} \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 5} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.17

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{47}{3} \cdot (5 \sqrt{5}) + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.18

Multipliez $\frac{47}{3} (5 \sqrt{5})$ .

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Étape 24.2.1.18.1

Associez $5$ et $\frac{47}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{5 \cdot 47}{3} \cdot \sqrt{5} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.18.2

Multipliez $5$ par $47$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{235}{3} \cdot \sqrt{5} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.18.3

Associez $\frac{235}{3}$ et $\sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} + 10 (- \sqrt{5})$

Étape 24.2.1.19

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 45 \sqrt{5} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} - 10 \sqrt{5}$

Étape 24.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 24.2.2.1

Écrivez $- 45 \sqrt{5}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 45 \sqrt{5}}{1} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} - 10 \sqrt{5}$

Étape 24.2.2.2

Multipliez $\frac{- 45 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 45 \sqrt{5}}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} - 10 \sqrt{5}$

Étape 24.2.2.3

Multipliez $\frac{- 45 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} - 10 \sqrt{5}$

Étape 24.2.2.4

Écrivez $- 10 \sqrt{5}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} + \frac{- 10 \sqrt{5}}{1}$

Étape 24.2.2.5

Multipliez $\frac{- 10 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} + \frac{- 10 \sqrt{5}}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 24.2.2.6

Multipliez $\frac{- 10 \sqrt{5}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 45 \sqrt{5} \cdot 3}{3} + \frac{235 \sqrt{5}}{3} + \frac{- 10 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 24.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 45 \sqrt{5} \cdot 3 + 235 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 24.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.4.1

Multipliez $3$ par $- 45$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 135 \sqrt{5} + 235 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 24.2.4.2

Multipliez $3$ par $- 10$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 135 \sqrt{5} + 235 \sqrt{5} - 30 \sqrt{5}}{3}$

Étape 24.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 24.2.5.1

Additionnez $- 135 \sqrt{5}$ et $235 \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{100 \sqrt{5} - 30 \sqrt{5}}{3}$

Étape 24.2.5.2

Soustrayez $30 \sqrt{5}$ de $100 \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{70 \sqrt{5}}{3}$

Étape 24.2.6

La réponse finale est $\frac{70 \sqrt{5}}{3}$ .

$y = \frac{70 \sqrt{5}}{3}$

Étape 25

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{9}{5} x^{5} - \frac{47}{3} x^{3} + 10 x$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{892 \sqrt{2}}{405})$ est un maximum local

$(- \frac{\sqrt{2}}{3}, - \frac{892 \sqrt{2}}{405})$ est un minimum local

$(\sqrt{5}, - \frac{70 \sqrt{5}}{3})$ est un minimum local

$(- \sqrt{5}, \frac{70 \sqrt{5}}{3})$ est un maximum local

Étape 26