Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Étape 1

Écrivez $y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ comme une fonction.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Additionnez $- 3 e^{- x} + e^{x}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Étape 5.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Étape 6.2

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

Étape 6.3

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

Étape 6.4.2

Associez $3$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

Étape 6.5

Remettez dans l’ordre $\frac{3}{u}$ et $u$ .

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

Étape 6.6

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1, 1$

Étape 6.6.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 6.6.2

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Étape 6.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Étape 6.6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Étape 6.6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

Étape 6.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.2.3.1

Multipliez $0$ par $u$ .

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

Étape 6.6.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1

Factorisez $u^{2} + 3 - 4 u$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 6.6.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Étape 6.6.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 6.6.3.3

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.3.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 6.6.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 6.6.3.4

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.4.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.6.3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 6.6.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 3) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 3, 1$

Étape 6.7

Remplacez $u$ par $3$ dans $u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Étape 6.8

Résolvez $3 = e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Étape 6.8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Étape 6.8.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Étape 6.8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Étape 6.8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (3)$

Étape 6.9

Remplacez $u$ par $1$ dans $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Étape 6.10

Résolvez $1 = e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.10.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Étape 6.10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Étape 6.10.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.10.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Étape 6.10.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 6.10.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (1)$

Étape 6.10.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.11

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (3), 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \ln (3), 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \ln (3)$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

Étape 10.1.2

Simplifiez $- (\ln (3))$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

Étape 10.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

Étape 10.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

Étape 10.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

Étape 10.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Étape 10.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$3 - 1$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2$

Étape 11

$x = \ln (3)$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \ln (3)$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \ln (3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (3)$ dans l’expression.

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Étape 12.2.1.2

Simplifiez $- (\ln (3))$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

Étape 12.2.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

Étape 12.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Étape 12.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Étape 12.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Étape 12.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

Étape 12.2.1.6

Simplifiez $- 4 \ln (3)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

Étape 12.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

Étape 12.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $2 - \ln (81)$ .

$y = 2 - \ln (81)$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - 3 e^{- (0)}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 - 3 e^{0}$

Étape 14.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - 3 \cdot 1$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3$

Étape 14.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2$

Étape 15

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

Étape 16.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 1 - 3 + 0$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (0) = - 2 + 0$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$f (0) = - 2$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ .

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ est un minimum local

$(0, - 2)$ est un maximum local

Étape 18