Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Étape 1

Écrivez $y = e^{3 x} - 6 e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 x} - 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{3 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} e^{x}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{3 x} - 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Étape 6.2

Déplacez $- 6 e^{x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$3 e^{3 x} = 6 e^{x}$

Étape 6.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Étape 6.4

Développez le côté gauche.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $\ln (3 e^{3 x})$ comme $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Étape 6.4.2

Développez $\ln (e^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (6 e^{x})$

Étape 6.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (6 e^{x})$

Étape 6.4.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6 e^{x})$

Étape 6.5

Développez le côté droit.

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Étape 6.5.1

Réécrivez $\ln (6 e^{x})$ comme $\ln (6) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + \ln (e^{x})$

Étape 6.5.2

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \ln (e)$

Étape 6.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \cdot 1$

Étape 6.5.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x$

Étape 6.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (3) - \ln (6) = - 3 x + x$

Étape 6.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{6}) = - 3 x + x$

Étape 6.8

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\ln (\frac{3 (1)}{6}) = - 3 x + x$

Étape 6.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Étape 6.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Étape 6.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{1}{2}) = - 3 x + x$

Étape 6.9

Additionnez $- 3 x$ et $x$ .

$\ln (\frac{1}{2}) = - 2 x$

Étape 6.10

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 6.11

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.11.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Étape 6.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.11.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Étape 6.11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Étape 6.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$9 e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$9 e^{3 (- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.5

Multipliez $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.5.2

Simplifiez $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$9 e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.6

Simplifiez $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$9 e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.7

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$9 {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.8

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 10.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.9

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.10

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 10.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Étape 10.11

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}))}$

Étape 10.12

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 10.13

Simplifiez $- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})}$

Étape 10.14

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Étape 10.15

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 10.15.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Étape 10.15.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 10.15.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 10.16

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ .

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Étape 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

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Étape 12.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ .

$y = - (\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{2}))$

Étape 12.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$y = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 12.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

Étape 12.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$

Étape 12.2

Remplacez la variable $x$ par $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ dans l’expression.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.1

Multipliez $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

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Étape 12.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.1.2

Simplifiez $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.2

Simplifiez $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.5

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.6

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 12.3.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Étape 12.3.1.7

Simplifiez $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1})}$

Étape 12.3.1.8

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1}$

Étape 12.3.1.9

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 12.3.2

La réponse finale est $2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}, 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$ est un minimum local

Étape 14