Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 2.8.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 2.10

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 2.11

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.12

Associez $- 7$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.13.1

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- \frac{7}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Étape 3.9

Associez $x^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Étape 3.10

Multipliez.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{7}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Étape 3.10.2

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Étape 3.11

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{7 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Étape 3.12

Multipliez.

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Étape 3.12.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Étape 3.12.3

Placez $x^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 5

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 6

Aucun extremum local

Étape 7