Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{5}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{1}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Étape 2.3.2.2

Associez $\cos (\frac{x}{2})$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2}) \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{5 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Associez les fractions.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ par $1$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3

Associez les fractions.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Étape 5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 6.1.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{5}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 6.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 6.4

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 6.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 6.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 6.6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.6.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.6.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.6.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Étape 6.6.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 π - π$

Étape 6.6.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Étape 6.7

La solution de l’équation est $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{5 \cdot 1}{8}$

Étape 8.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{5}{8}$

Étape 9

$x = π$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (π))$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot 1$

Étape 10.2.3

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$f (π) = \frac{5}{2}$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3 π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{8}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{8}$

Étape 12.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Étape 12.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{8}$

Étape 12.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{- 5}{8}$

Étape 12.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{5}{8}$

Étape 12.3

Multipliez $- - \frac{5}{8}$ .

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{5}{8})$

Étape 12.3.2

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $1$ .

$\frac{5}{8}$

Étape 13

$x = 3 π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3 π$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = 3 π$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (3 π))$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Multipliez $\frac{1}{2} (3 π)$ .

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Étape 14.2.1.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} \cdot π)$

Étape 14.2.1.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $π$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.2.2

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 14.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot - 1$

Étape 14.2.5

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 14.2.5.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$f (3 π) = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Étape 14.2.5.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (3 π) = \frac{- 5}{2}$

Étape 14.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3 π) = - \frac{5}{2}$

Étape 14.2.7

La réponse finale est $- \frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 15

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$(π, \frac{5}{2})$ est un maximum local

$(3 π, - \frac{5}{2})$ est un minimum local

Étape 16