Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ comme ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x - 63$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 2.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 2.3.7

Comme $- 63$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 63$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Étape 2.3.8

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ .

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.7

Multipliez $- 2 x + 8$ par $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 8$ .

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Étape 2.4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.8.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.10

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.12

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 2.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 (x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $x^{2} - 8 x - 63$ à partir de ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 8 x - 63$ à partir de ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $x^{2} - 8 x - 63$ à partir de $- 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $x^{2} - 8 x - 63$ à partir de $(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63]))$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x^{2} - 8 x - 63$ à partir de ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x - 63$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.9

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.11

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.12

Comme $- 63$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 63$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.13.2

Associez $- 10$ et $\frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 + (- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} + 10 (- 8 x) + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.14.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.14.3.1.1

Multipliez $- 8$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.2

Multipliez $10$ par $- 63$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x + 8) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.4

Développez $(- 2 x + 8) (2 x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.14.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x - 8) + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.14.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.14.3.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.3.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5.1.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5.1.6

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.5.2

Additionnez $16 x$ et $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 32 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2}) + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.7

Simplifiez

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Étape 3.14.3.1.7.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.7.2

Multipliez $32$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.1.7.3

Multipliez $10$ par $- 64$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.2

Soustrayez $40 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} - 80 x - 630 + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.3

Additionnez $- 80 x$ et $320 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 630 - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.3.4

Soustrayez $640$ de $- 630$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.4

Factorisez $10$ à partir de $- 30 x^{2} + 240 x - 1270$ .

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Étape 3.14.4.1

Factorisez $10$ à partir de $- 30 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.4.2

Factorisez $10$ à partir de $240 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.4.3

Factorisez $10$ à partir de $- 1270$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.4.4

Factorisez $10$ à partir de $10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.4.5

Factorisez $10$ à partir de $10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.6

Factorisez $- 1$ à partir de $24 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - (- 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 24 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.8

Réécrivez $- 127$ comme $- 1 (127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 1 \cdot 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 24 x) - 1 (127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.10

Réécrivez $- (3 x^{2} - 24 x + 127)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 3.14.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}})$

Étape 3.14.13

Multipliez $\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 5.1.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ comme ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Étape 5.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x - 63$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 5.1.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 5.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 5.1.3.6

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Étape 5.1.3.7

Comme $- 63$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 63$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Étape 5.1.3.8

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Étape 5.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 5.1.4.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Étape 5.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Étape 5.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ .

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.7

Multipliez $- 2 x + 8$ par $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 8$ .

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Étape 5.1.4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.8.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.10

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.12

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.1.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$10 (x - 4) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $10 (x - 4) = 0$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $10 (x - 4) = 0$ par $10$ .

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 6.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{10}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Divisez $0$ par $10$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x^{2} - 8 x - 63 = 0$

Étape 7.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = - 63$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5

Simplifiez

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Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Étape 7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.3

Additionnez $64$ et $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.4

Réécrivez $316$ comme $2^{2} \cdot 79$ .

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Étape 7.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Étape 7.2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Étape 7.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Étape 7.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.1.3

Additionnez $64$ et $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.1.4

Réécrivez $316$ comme $2^{2} \cdot 79$ .

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Étape 7.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Étape 7.2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Étape 7.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 4 + \sqrt{79}$

Étape 7.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.7.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Étape 7.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.7.1.3

Additionnez $64$ et $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.7.1.4

Réécrivez $316$ comme $2^{2} \cdot 79$ .

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Étape 7.2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $316$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Étape 7.2.7.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Étape 7.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 4 - \sqrt{79}$

Étape 7.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 + \sqrt{79}, 4 - \sqrt{79}$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 4 - \sqrt{79}, x = 4 + \sqrt{79}$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{10 (3 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 127)}{{({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{10 (3 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{10 (48 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$\frac{10 (48 - 96 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Étape 10.1.4

Soustrayez $96$ de $48$ .

$\frac{10 (- 48 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Étape 10.1.5

Additionnez $- 48$ et $127$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 32 - 63)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 16 - 63)}^{3}}$

Étape 10.2.4

Soustrayez $63$ de $- 16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 79)}^{3}}$

Étape 10.2.5

Élevez $- 79$ à la puissance $3$ .

$\frac{10 \cdot 79}{- 493039}$

Étape 10.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.1

Multipliez $10$ par $79$ .

$\frac{790}{- 493039}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $790$ et $- 493039$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $79$ à partir de $790$ .

$\frac{79 (10)}{- 493039}$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $79$ à partir de $- 493039$ .

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10}{- 6241}$

Étape 10.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{6241}$

Étape 11

$x = 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{5}{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 8 \cdot 4 - 63}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 32 - 63}$

Étape 12.2.1.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 16 - 63}$

Étape 12.2.1.4

Soustrayez $63$ de $- 16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 79}$

Étape 12.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (4) = - \frac{5}{79}$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- \frac{5}{79}$ .

$y = - \frac{5}{79}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ .

$(4, - \frac{5}{79})$ est un maximum local

Étape 14