Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Étape 1

Écrivez $y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{3}{2} x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Étape 2.3.2.2

Multipliez.

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Étape 2.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Étape 2.3.2.3

Associez $\sin (\frac{3 x}{2})$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 2.3.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{3 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Associez les fractions.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.2

Multipliez.

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ par $1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{9}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{3 x}{2}))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Associez $\cos (\frac{3 x}{2})$ et $\frac{9}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Étape 3.3.2

Déplacez $9$ à gauche de $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Étape 3.3.3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.4

Associez les fractions.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.4.2

Multipliez.

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Étape 3.3.4.2.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot 1$

Étape 3.3.6

Multipliez $\frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} = 0$

Étape 5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ par $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 6.1.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{3 x}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Étape 6.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Étape 6.4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x = 0$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 6.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Étape 6.7

Résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 6.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 6.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 6.7.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 6.7.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.7.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 6.7.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 6.7.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 6.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Étape 6.7.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Étape 6.7.2.2.1.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 6.8

La solution de l’équation est $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (0)$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{8}$

Étape 8.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{8}$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{8}$

Étape 8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{8}$

Étape 8.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{8}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{27 \cos (0)}{8}$

Étape 8.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{27 \cdot 1}{8}$

Étape 8.3

Multipliez $27$ par $1$ .

$\frac{27}{8}$

Étape 9

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (0)$

Étape 10.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 10.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2}$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{8}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Associez $3$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Étape 12.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{8}$

Étape 12.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Étape 12.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{8}$

Étape 12.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{8}$

Étape 12.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{8}$

Étape 12.3.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Étape 12.4.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{27 \cos (π)}{8}$

Étape 12.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{27 (- \cos (0))}{8}$

Étape 12.4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{27 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Étape 12.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{27 \cdot - 1}{8}$

Étape 12.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.5.1

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$\frac{- 27}{8}$

Étape 12.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{8}$

Étape 13

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Étape 14.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Étape 14.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Étape 14.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (π)$

Étape 14.2.3

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- \cos (0))$

Étape 14.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Étape 14.2.6

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 14.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 (\frac{3}{2})$

Étape 14.2.6.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}$

Étape 14.2.7

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Étape 15

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, - \frac{3}{2})$ est un minimum local

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3}{2})$ est un maximum local

Étape 16