Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.14.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.6

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.7

Multipliez $- 15 x^{4}$ par $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.8

Multipliez $6 x$ par $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 2.3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Soustrayez $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.2

Additionnez $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ et $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.3

Additionnez $- 15 x^{6}$ et $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.3.4

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.12

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.14

Réécrivez $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ comme $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{6}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (9 x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{6}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (9 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.6

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.8

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.12

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.14

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 + 0) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.16

Additionnez $54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)) + (x^{2} + 1) (- 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 2 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 3.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.12.1

Multipliez $\frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Étape 3.12.2

Additionnez $- \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) + (- 4 (9 x^{6}) - 4 (15 x^{4}) - 4 (- x^{2}) - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6) - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (54 x^{5}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} x^{5} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (x^{5} x^{2}) + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{5 + 2} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.2.3

Additionnez $5$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + x^{2} (60 x^{3}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{3 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.4.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.13.3.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.13.3.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.7

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 1 (54 x^{5}) + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.8

Multipliez $54 x^{5}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 1 (60 x^{3}) + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.9

Multipliez $60 x^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} + 1 (- 2 x) + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.10

Multipliez $- 2 x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x + 1 \cdot - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.2.11

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 60 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 54 x^{5} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.3

Additionnez $60 x^{5}$ et $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 60 x^{3} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.4

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $60 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{6}) x - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.5

Multipliez $x^{6}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{6}$ .

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Étape 3.13.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 (x \cdot x^{6})) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{1 + 6}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 4 (9 x^{7}) - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.6

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{4}) x - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.13.3.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 (x \cdot x^{4})) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{1 + 4}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.7.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 4 (15 x^{5}) - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.8

Multipliez $15$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{2}) x - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.9.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.9.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.13.3.1.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- (x \cdot x^{2})) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{1 + 2}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} - 4 (- x^{3}) - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x) x - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.11

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.11.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.11.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} - 4 (- 6 x^{2}) - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.12

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.1.13

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 36 x^{7} - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.2

Soustrayez $36 x^{7}$ de $54 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 114 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 - 60 x^{5} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.3

Soustrayez $60 x^{5}$ de $114 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 58 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.4

Additionnez $58 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x - 6 + 24 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.5

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 2 x - 6 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.3.6

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{7} + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6$ .

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Étape 3.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{7}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 54 x^{5} + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.2

Factorisez $2$ à partir de $54 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 62 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.3

Factorisez $2$ à partir de $62 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 18 x^{2} - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.4

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 6 x - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.5

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.6

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{7}) + 2 (27 x^{5})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.8

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5}) + 2 (31 x^{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.10

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 3 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13.4.11

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x) + 2 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (9 x^{7} + 27 x^{5} + 31 x^{3} + 9 x^{2} - 3 x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x] - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1 \cdot 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2.14.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) + (- 2 (- 3 x^{5}) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- x)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1) - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (- 15 x^{4} + 6 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (- 15 x^{4}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 15 x^{2} x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.3.1.2.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{- 15 (x^{4} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{4 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.3.1.2.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.3.1.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.6

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} + 1 (- 15 x^{4}) + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.7

Multipliez $- 15 x^{4}$ par $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.8

Multipliez $6 x$ par $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x + 1 \cdot - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{5}) x - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.3

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x \cdot x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 5.1.3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 (x^{1} x^{5})) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{1 + 5}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 - 2 (- 3 x^{6}) - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{2}) x - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.3.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 2 (3 x^{3}) - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.3.1.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- (x \cdot x))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} - 2 (- x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 15 x^{6} + 6 x^{3} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} - 6 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.3.2.1

Soustrayez $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 0 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.2.2

Additionnez $- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6}$ et $0$ .

$\frac{- 15 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 6 x^{6} + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.3

Additionnez $- 15 x^{6}$ et $6 x^{6}$ .

$\frac{- 9 x^{6} - x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1 + 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3.4

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{6} + x^{2} - 15 x^{4} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 9 x^{6} - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{6}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - 15 x^{4} + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (9 x^{6}) - (15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6}) - (15 x^{4})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) + x^{2} + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6} + 15 x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) + 6 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.12

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.14

Réécrivez $- (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ comme $- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{9 x^{6} + 15 x^{4} - x^{2} - 6 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.16402146, 0.64778788$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0.16402146, 0.64778788$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.16402146$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (9 {(0.16402146)}^{7} + 27 {(0.16402146)}^{5} + 31 {(0.16402146)}^{3} + 9 {(0.16402146)}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({(0.16402146)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $0.16402146$ à la puissance $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.00000319 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $9$ par $0.00000319$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot {0.16402146}^{5} + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Élevez $0.16402146$ à la puissance $5$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 27 \cdot 0.00011871 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $27$ par $0.00011871$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot {0.16402146}^{3} + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.5

Élevez $0.16402146$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 31 \cdot 0.00441267 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.6

Multipliez $31$ par $0.00441267$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot {0.16402146}^{2} - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.7

Élevez $0.16402146$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 9 \cdot 0.02690304 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.8

Multipliez $9$ par $0.02690304$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 3 \cdot 0.16402146 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.9

Multipliez $- 3$ par $0.16402146$ .

$- \frac{2 (0.00002874 + 0.00320528 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.10

Additionnez $0.00002874$ et $0.00320528$ .

$- \frac{2 (0.00323403 + 0.13679296 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.11

Additionnez $0.00323403$ et $0.13679296$ .

$- \frac{2 (0.140027 + 0.24212737 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.12

Additionnez $0.140027$ et $0.24212737$ .

$- \frac{2 (0.38215438 - 0.4920644 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.13

Soustrayez $0.4920644$ de $0.38215438$ .

$- \frac{2 (- 0.10991002 - 3)}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.14

Soustrayez $3$ de $- 0.10991002$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{({0.16402146}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $0.16402146$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{(0.02690304 + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $0.02690304$ et $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{{1.02690304}^{3}}$

Étape 10.2.3

Élevez $1.02690304$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 \cdot - 3.10991002}{1.08289991}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $2$ par $- 3.10991002$ .

$- \frac{- 6.21982004}{1.08289991}$

Étape 10.3.2

Divisez $- 6.21982004$ par $1.08289991$ .

$- - 5.74367024$

Étape 10.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 5.74367024$ .

$5.74367024$

Étape 11

$x = 0.16402146$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.16402146$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0.16402146$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0.16402146$ dans l’expression.

$f (0.16402146) = \frac{- 3 {(0.16402146)}^{5} + 3 {(0.16402146)}^{2} - (0.16402146)}{{(0.16402146)}^{2} + 1}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $0.16402146$ à la puissance $5$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 3 \cdot 0.00011871 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0.00011871$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot {0.16402146}^{2} - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Étape 12.2.1.3

Élevez $0.16402146$ à la puissance $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 3 \cdot 0.02690304 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.02690304$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - (0.16402146)}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.16402146$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.00035614 + 0.08070912 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Étape 12.2.1.6

Additionnez $- 0.00035614$ et $0.08070912$ .

$f (0.16402146) = \frac{0.08035298 - 0.16402146}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Étape 12.2.1.7

Soustrayez $0.16402146$ de $0.08035298$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{{0.16402146}^{2} + 1}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

Élevez $0.16402146$ à la puissance $2$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{0.02690304 + 1}$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $0.02690304$ et $1$ .

$f (0.16402146) = \frac{- 0.08366848}{1.02690304}$

Étape 12.2.3

Divisez $- 0.08366848$ par $1.02690304$ .

$f (0.16402146) = - 0.08147651$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $- 0.08147651$ .

$y = - 0.08147651$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.64778788$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (9 {(0.64778788)}^{7} + 27 {(0.64778788)}^{5} + 31 {(0.64778788)}^{3} + 9 {(0.64778788)}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({(0.64778788)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Élevez $0.64778788$ à la puissance $7$ .

$- \frac{2 (9 \cdot 0.04786628 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $9$ par $0.04786628$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot {0.64778788}^{5} + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.3

Élevez $0.64778788$ à la puissance $5$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 27 \cdot 0.11406806 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.4

Multipliez $27$ par $0.11406806$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot {0.64778788}^{3} + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.5

Élevez $0.64778788$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 31 \cdot 0.27183067 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.6

Multipliez $31$ par $0.27183067$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot {0.64778788}^{2} - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.7

Élevez $0.64778788$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 9 \cdot 0.41962913 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.8

Multipliez $9$ par $0.41962913$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 3 \cdot 0.64778788 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.9

Multipliez $- 3$ par $0.64778788$ .

$- \frac{2 (0.43079657 + 3.07983788 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.10

Additionnez $0.43079657$ et $3.07983788$ .

$- \frac{2 (3.51063445 + 8.42675077 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.11

Additionnez $3.51063445$ et $8.42675077$ .

$- \frac{2 (11.93738522 + 3.77666224 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.12

Additionnez $11.93738522$ et $3.77666224$ .

$- \frac{2 (15.71404747 - 1.94336364 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.13

Soustrayez $1.94336364$ de $15.71404747$ .

$- \frac{2 (13.77068382 - 3)}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.1.14

Soustrayez $3$ de $13.77068382$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{({0.64778788}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Élevez $0.64778788$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{(0.41962913 + 1)}^{3}}$

Étape 14.2.2

Additionnez $0.41962913$ et $1$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{{1.41962913}^{3}}$

Étape 14.2.3

Élevez $1.41962913$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 \cdot 10.77068382}{2.86104516}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Multipliez $2$ par $10.77068382$ .

$- \frac{21.54136765}{2.86104516}$

Étape 14.3.2

Divisez $21.54136765$ par $2.86104516$ .

$- 1 \cdot 7.52919523$

Étape 14.3.3

Multipliez $- 1$ par $7.52919523$ .

$- 7.52919523$

Étape 15

$x = 0.64778788$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.64778788$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 0.64778788$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $0.64778788$ dans l’expression.

$f (0.64778788) = \frac{- 3 {(0.64778788)}^{5} + 3 {(0.64778788)}^{2} - (0.64778788)}{{(0.64778788)}^{2} + 1}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Élevez $0.64778788$ à la puissance $5$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 3 \cdot 0.11406806 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0.11406806$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot {0.64778788}^{2} - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Étape 16.2.1.3

Élevez $0.64778788$ à la puissance $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 3 \cdot 0.41962913 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.41962913$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - (0.64778788)}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.64778788$ .

$f (0.64778788) = \frac{- 0.3422042 + 1.25888741 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Étape 16.2.1.6

Additionnez $- 0.3422042$ et $1.25888741$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.9166832 - 0.64778788}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Étape 16.2.1.7

Soustrayez $0.64778788$ de $0.9166832$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{{0.64778788}^{2} + 1}$

Étape 16.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Élevez $0.64778788$ à la puissance $2$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{0.41962913 + 1}$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $0.41962913$ et $1$ .

$f (0.64778788) = \frac{0.26889532}{1.41962913}$

Étape 16.2.3

Divisez $0.26889532$ par $1.41962913$ .

$f (0.64778788) = 0.18941237$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $0.18941237$ .

$y = 0.18941237$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{- 3 x^{5} + 3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$ .

$(0.16402146, - 0.08147651)$ est un minimum local

$(0.64778788, 0.18941237)$ est un maximum local

Étape 18