Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.5

Associez les fractions.

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Étape 2.5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.5.5.3

Associez $27$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.2.1.2

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.2.1.3

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.2.4

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et ${(x + 1)}^{6}$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.7

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{27 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3.2

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{({(x + 1)}^{4})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.5.6.1

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.5.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.7.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.7.2

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

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Étape 3.7.2.1

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.7.2.2

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de $- 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.7.2.3

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de ${(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez ${(x + 1)}^{3}$ à partir de ${(x + 1)}^{8}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.12

Associez les fractions.

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Étape 3.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.12.3

Associez $- 27$ et $\frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.3.1.1

Développez $(x + 1) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.13.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.13.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.13.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + 0 - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.2.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2}) + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.4

Multipliez $2$ par $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.5

Multipliez $27$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 (x \cdot x)) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x^{2}) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.7

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.8

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (8 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.1.9

Multipliez $8$ par $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.3.2

Soustrayez $108 x^{2}$ de $54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.13.4.1

Factorisez $54$ à partir de $- 54 x^{2} - 54 + 216 x$ .

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Étape 3.13.4.1.1

Factorisez $54$ à partir de $- 54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.4.1.2

Factorisez $54$ à partir de $- 54$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.4.1.3

Factorisez $54$ à partir de $216 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.4.1.4

Factorisez $54$ à partir de $54 (- x^{2}) + 54 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.4.1.5

Factorisez $54$ à partir de $54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1 + 4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) - (- 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.10

Réécrivez $- (x^{2} - 4 x + 1)$ comme $- 1 (x^{2} - 4 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{54 (- 1 (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 3.13.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}})$

Étape 3.13.13

Multipliez $\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Étape 5.1.2

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 5.1.3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.3.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 5.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.5

Différenciez.

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.5.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.5.5

Associez les fractions.

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Étape 5.1.5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.5.5.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.5.5.3

Associez $27$ et $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6

Simplifiez

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Étape 5.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.2.1

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

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Étape 5.1.6.2.1.1

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.2.1.2

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.2.1.3

Factorisez $27 {(x + 1)}^{2} x$ à partir de $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.2.4

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.3

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et ${(x + 1)}^{6}$ .

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Étape 5.1.6.3.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Étape 5.1.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.6.3.2.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.1.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.1.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.1.6.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.1.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.1.6.7

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.1.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$27 x (x - 2) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $27 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{4} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{54 ({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1)}{{((0) + 1)}^{5}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{54 (0 - 4 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{54 (0 + 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{54 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Étape 10.1.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{5}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{1^{5}}$

Étape 10.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{54 \cdot 1}{1}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $54$ par $1$ .

$\frac{54}{1}$

Étape 10.3.2

Divisez $54$ par $1$ .

$54$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{27 {(0)}^{2}}{{((0) + 1)}^{3}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{3}}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1^{3}}$

Étape 12.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1}$

Étape 12.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.3.1

Multipliez $27$ par $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Étape 12.2.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{54 ({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1)}{{((2) + 1)}^{5}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{54 (4 - 4 \cdot 2 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{54 (4 - 8 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Étape 14.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{54 (- 4 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Étape 14.1.4

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{5}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{3^{5}}$

Étape 14.2.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{243}$

Étape 14.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.3.1

Multipliez $54$ par $- 3$ .

$\frac{- 162}{243}$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun à $- 162$ et $243$ .

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $81$ à partir de $- 162$ .

$\frac{81 (- 2)}{243}$

Étape 14.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Étape 14.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Étape 14.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{3}$

Étape 14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3}$

Étape 15

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{27 {(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{{(2 + 1)}^{3}}$

Étape 16.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.2.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{3^{3}}$

Étape 16.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{27}$

Étape 16.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.2.3.1

Multipliez $27$ par $4$ .

$f (2) = \frac{108}{27}$

Étape 16.2.3.2

Divisez $108$ par $27$ .

$f (2) = 4$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(2, 4)$ est un maximum local

Étape 18