Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 4}$ comme ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{1}}$

Étape 2.4

Simplifiez

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Étape 2.5.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.11.3

Placez ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{x^{2} - 4}$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 2.14

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} - 4}$

Étape 2.15

Associez les fractions.

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Étape 2.15.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} - 4}$

Étape 2.15.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Étape 2.15.3

Associez $- 2$ et $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Étape 2.15.4

Associez $\frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3} x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.18

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{4}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.22

Associez $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ et $- \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 2.22.1

Déplacez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.22.2

Pour écrire $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.23

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.23.1

Déplacez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.23.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.23.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.24

Simplifiez $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 2.25

Réécrivez $\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$ comme un produit.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4}$

Étape 2.26

Multipliez $\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} - 4}$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)}$

Étape 2.27

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} - 4$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.27.1

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} - 4$ .

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Étape 2.27.1.1

Élevez $x^{2} - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{1}}$

Étape 2.27.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.27.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.27.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28

Simplifiez

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Étape 2.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.28.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.28.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.28.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.2.2

Soustrayez $x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4} - 12 x^{2}$ .

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Étape 2.28.3.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.28.3.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}})$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} (x^{2} - 6)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.5.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} (2 x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.7.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2})) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + (x^{2} - 6) (2 x)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 6) x)) - x^{2} (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.12.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - x^{2} (x^{2} - 6) (\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.13.2

Associez $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.16

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.17

Associez les fractions.

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Étape 3.17.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.17.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) - 2 \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.17.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.17.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.17.5

Associez $x$ et $\frac{- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{2} x (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{2 + 1} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.20

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{3} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.21

Factorisez $2$ à partir de $x^{3} (- 6 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.22

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.22.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.22.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{2 (x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.22.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + \frac{x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.22.4

Divisez $x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.23

Factorisez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 (x^{2} - 6) x) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)$ .

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Étape 3.23.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.23.1.1

Déplacez $x^{2} - 6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) + x^{3} (- 3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.23.1.2

Remettez dans l’ordre $x^{3}$ et $- 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.23.2

Factorisez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) - 3 \cdot (x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.23.3

Factorisez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 \cdot x^{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6)$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) + {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.23.4

Factorisez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6))) + {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{3} (x^{2} - 6))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.24

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.24.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.24.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.25

Simplifiez

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 \cdot (x^{3} (x^{2} - 6)))}{{(x^{2} - 4)}^{3}})$

Étape 3.26

Placez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}})$

Étape 3.27

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{3}$ par ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.27.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3 - \frac{1}{2}}})$

Étape 3.27.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Étape 3.27.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Étape 3.27.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}})$

Étape 3.27.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.27.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{6 - 1}{2}}})$

Étape 3.27.5.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}})$

Étape 3.28

Associez $2$ et $\frac{(x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x (x^{2} - 6)) - 3 x^{3} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29

Simplifiez

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Étape 3.29.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6) - 3 x^{3} (x^{2} - 6))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6) - 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.29.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.29.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.29.4.1.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.29.4.1.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.29.4.1.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot - 6)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.1.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (2 x^{3} + 2 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.2

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((x^{2} - 4) (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.3

Développez $(x^{2} - 4) (4 x^{3} - 12 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.29.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3} - 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.29.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.29.4.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.29.4.1.4.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} + x^{2} (- 12 x) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{2} x - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.29.4.1.4.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.29.4.1.4.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{1 + 2} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 4 (4 x^{3}) - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.5

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 16 x^{3} - 4 (- 12 x)) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 12 x^{3} - 16 x^{3} + 48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.4.2

Soustrayez $16 x^{3}$ de $- 12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5} - 28 x^{3} + 48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{5}) + 2 (- 28 x^{3}) + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.29.4.1.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 2 (- 28 x^{3}) + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.6.2

Multipliez $- 28$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 2 (48 x) + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.6.3

Multipliez $48$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{3} x^{2}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.7

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.29.4.1.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 (x^{2} x^{3})) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{2 + 3}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.7.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 2 (- 3 x^{5}) + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 2 (- 3 x^{3} \cdot - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.9

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 2 (18 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.1.10

Multipliez $18$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x - 6 x^{5} + 36 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.2

Soustrayez $6 x^{5}$ de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 56 x^{3} + 96 x + 36 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.4.3

Additionnez $- 56 x^{3}$ et $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 20 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5} - 20 x^{3} + 96 x$ .

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Étape 3.29.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 20 x^{3} + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2}) + 2 x (48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.5.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 10 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.29.5.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 2 x (48)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 10 x^{2} + 48)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 4}$ comme ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 5.1.2

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} - 4)}^{1}}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.5.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Étape 5.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.11

Associez les fractions.

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Étape 5.1.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.11.3

Placez ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{3} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.14

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.15

Associez les fractions.

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Étape 5.1.15.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.15.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 2 \frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.15.3

Associez $- 2$ et $\frac{x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.15.4

Associez $\frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{3} x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 (x^{1} x^{3})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{1 + 3}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.18

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- 2 x^{4}}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{2 (- x^{4})}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} + \frac{- x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.22

Associez $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ et $- \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 5.1.22.1

Déplacez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.22.2

Pour écrire $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.23

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.23.1

Déplacez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} ({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.23.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.23.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.24

Simplifiez $3 x^{2} {(x^{2} - 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.25

Réécrivez $\frac{\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4}$ comme un produit.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.26

Multipliez $\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} - 4}$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)}$

Étape 5.1.27

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} - 4$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.27.1

Multipliez ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} - 4$ .

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Étape 5.1.27.1.1

Élevez $x^{2} - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4)}^{1}}$

Étape 5.1.27.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 5.1.27.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 5.1.27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 5.1.27.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 x^{2} (x^{2} - 4) - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28

Simplifiez

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Étape 5.1.28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.28.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.28.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.28.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 4 - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.2.2

Soustrayez $x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{4} - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4} - 12 x^{2}$ .

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Étape 5.1.28.3.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) - 12 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.28.3.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.3.2.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.3.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.3.2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $x^{2} - 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Étape 6.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 6$

Étape 6.3.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 6.3.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 6.3.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 6.3.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 6.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} (x^{2} - 6)}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ comme ${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 4)}^{3} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(x^{2} - 4)}^{3} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.3.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{3} = 0$

Étape 7.3.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{3} = 0$

Étape 7.3.3.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3} = 0$

Étape 7.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{3} = 0$

${(x - 2)}^{3} = 0$

Étape 7.3.3.3

Définissez ${(x + 2)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.3.1

Définissez ${(x + 2)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{3} = 0$

Étape 7.3.3.3.2

Résolvez ${(x + 2)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.3.3.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.3.3.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.3.3.4

Définissez ${(x - 2)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.4.1

Définissez ${(x - 2)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Étape 7.3.3.4.2

Résolvez ${(x - 2)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.3.4.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.3.3.4.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 4)}^{3} < 0$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 7.5.2

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x^{2} - 4 < \sqrt[3]{0}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 7.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x^{2} - 4 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 7.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x^{2} - 4 < 0$

Étape 7.5.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} < 4$

Étape 7.5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{4}$

Étape 7.5.5

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.5.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < \sqrt{4}$

Étape 7.5.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.5.2.1

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.5.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | < \sqrt{2^{2}}$

Étape 7.5.5.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < | 2 |$

Étape 7.5.5.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | < 2$

Étape 7.5.6

Écrivez $| x | < 2$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 7.5.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 7.5.6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x < 2$

Étape 7.5.6.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 7.5.6.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x < 2$

Étape 7.5.6.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x < 2 & x \geq 0 \\ - x < 2 & x < 0 \end{cases}$

Étape 7.5.7

Déterminez l’intersection de $x < 2$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 2$

Étape 7.5.8

Résolvez $- x < 2$ quand $x < 0$ .

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Étape 7.5.8.1

Divisez chaque terme dans $- x < 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.5.8.1.1

Divisez chaque terme dans $- x < 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{2}{- 1}$

Étape 7.5.8.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.8.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{2}{- 1}$

Étape 7.5.8.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{2}{- 1}$

Étape 7.5.8.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.8.1.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x > - 2$

Étape 7.5.8.2

Déterminez l’intersection de $x > - 2$ et $x < 0$ .

$- 2 < x < 0$

Étape 7.5.9

Déterminez l’union des solutions.

$- 2 < x < 2$

Étape 7.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

$- 2 \leq x \leq 2$

$[- 2, 2]$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 (\sqrt{6}) ({(\sqrt{6})}^{4} - 10 {(\sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(\sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

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Étape 10.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} ({(6^{\frac{1}{2}})}^{4} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{4}{2}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{\frac{2}{1}} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (6^{2} - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 10.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{1} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 10$ par $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (36 - 60 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.5

Soustrayez $60$ de $36$ .

$\frac{2 \sqrt{6} (- 24 + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.6

Additionnez $- 24$ et $48$ .

$\frac{2 \sqrt{6} \cdot 24}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.7

Multipliez $24$ par $2$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 10.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6^{1} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{48 \sqrt{6}}{{(6 - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$\frac{48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 11

$x = \sqrt{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{6}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{6}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{6}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{6}) = \frac{{(\sqrt{6})}^{3}}{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{6^{3}}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 12.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 12.2.1.3.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{36 (6)}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 12.2.1.3.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 12.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 12.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}}$

Étape 12.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}}$

Étape 12.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Étape 12.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Étape 12.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Étape 12.2.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{6 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Étape 12.2.3

Associez $\sqrt{6}$ et $\sqrt{2}$ en un radical unique.

$f (\sqrt{6}) = 6 \sqrt{\frac{6}{2}}$

Étape 12.2.4

Divisez $6$ par $2$ .

$f (\sqrt{6}) = 6 \sqrt{3}$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 (- \sqrt{6}) ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- \sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- \sqrt{6})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(1 {\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{6}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({\sqrt{6}}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{\frac{2}{2}} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6^{1} - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{{(6 - 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.2.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- \sqrt{6})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(- 1)}^{4} {\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (1 {\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.3

Multipliez ${\sqrt{6}}^{4}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({\sqrt{6}}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} ({(6^{\frac{1}{2}})}^{4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{4}{2}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{\frac{2}{1}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (6^{2} - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {(- \sqrt{6})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.8

Multipliez ${\sqrt{6}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {\sqrt{6}}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.9

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 14.3.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6^{1} + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 10 \cdot 6 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.10

Multipliez $- 10$ par $6$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (36 - 60 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.11

Soustrayez $60$ de $36$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} (- 24 + 48)}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.12

Additionnez $- 24$ et $48$ .

$\frac{- 2 \sqrt{6} \cdot 24}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.3.13

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$\frac{- 48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{48 \sqrt{6}}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 15

$x = - \sqrt{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{6}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{6}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{6}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{6^{3}}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.1.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{216}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.1.5

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 16.2.1.5.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{36 (6)}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.1.5.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 1 \cdot (6 \sqrt{6})}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(- \sqrt{6})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{1 {\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.2.3

Multipliez ${\sqrt{6}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 16.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}}$

Étape 16.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}}$

Étape 16.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Étape 16.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4}}$

Étape 16.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Étape 16.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{6 - 4}}$

Étape 16.2.2.5

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 6 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Étape 16.2.3

Associez $\sqrt{6}$ et $\sqrt{2}$ en un radical unique.

$f (- \sqrt{6}) = - 6 \sqrt{\frac{6}{2}}$

Étape 16.2.4

Divisez $6$ par $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = - 6 \sqrt{3}$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ .

$(\sqrt{6}, 6 \sqrt{3})$ est un minimum local

$(- \sqrt{6}, - 6 \sqrt{3})$ est un maximum local

Étape 18