Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Étape 2.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.3.3

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Factorisez $1 + x^{2}$ à partir de ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.11

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.16

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.17

Associez $- 2$ et $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.19

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.19.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.19.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.19.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.19.3

Factorisez $2$ à partir de $2 - 6 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.19.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.19.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 3.19.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Réécrivez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Étape 5.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 5.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 5.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Étape 5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Étape 5.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Étape 5.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Étape 5.1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Étape 10.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 \cdot 1}{1}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{1}$

Étape 10.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Étape 10.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{1}{1 + {(0)}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{1}{1 + 0}$

Étape 12.2.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Étape 12.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(0, 1)$ est un maximum local

Étape 14