Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 2}$ comme ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.7.2

Associez ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.7.3

Placez ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez les termes.

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Étape 2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Étape 2.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 2.11.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 2.11.4

Associez $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.11.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.8.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.12

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.13

Associez les fractions.

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Étape 3.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.13.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.13.5

Associez $\frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.18

Factorisez $2$ à partir de $- 6 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.19.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.19.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.19.4

Divisez $- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.20

Factorisez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

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Étape 3.20.1

Déplacez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.20.2

Factorisez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.20.3

Factorisez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.20.4

Factorisez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.21

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.21.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.21.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 2) - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.22

Simplifiez

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.23

Soustrayez $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.24

Placez ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.25

Multipliez ${(x^{2} + 2)}^{3}$ par ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.25.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.25.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.25.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.25.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.25.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.25.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{6 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.25.5.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.26

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Étape 3.27

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.27.1

Multipliez $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + 0$

Étape 3.27.2

Additionnez $- \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 2}$ comme ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 5.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 5.1.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 5.1.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.7

Associez les fractions.

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Étape 5.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.7.2

Associez ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.7.3

Placez ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Étape 5.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 5.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 5.1.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 5.1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Étape 5.1.11.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 5.1.11.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Étape 5.1.11.4

Associez $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.11.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 5.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$- \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$- \frac{2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{{(0 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$- \frac{2}{2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 10.3

Placez $2^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2}} \cdot 2^{- 1}}$

Étape 10.4

Multipliez $2^{\frac{5}{2}}$ par $2^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1}}$

Étape 10.4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 10.4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 10.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 10.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 2}{2}}}$

Étape 10.4.5.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{0 + 2}}$

Étape 12.2.1.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 12.2.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 12.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 12.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 12.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 12.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 12.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 12.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 12.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 12.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ est un maximum local

Étape 14