Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{4} - 81$ .

$\frac{(x^{4} - 81) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 81) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} - 81$ .

$\frac{4 \cdot (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{4 x^{7} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 81$ .

$\frac{4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Soustrayez $4 x^{7}$ de $4 x^{7}$ .

$\frac{- 324 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.3.2.2

Additionnez $- 324 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{- 324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 324$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 324 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 3.2

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{({(x^{4} - 81)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{4} - 81)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.3.3

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{4} - 81)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 81)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} - 81$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 81)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 81)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.5.4

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.5.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 81) x^{3}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.5.5.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 81) x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.7

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.8

Associez $- 324$ et $\frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(324) (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.3.1.1

Réécrivez ${(x^{4} - 81)}^{2}$ comme $(x^{4} - 81) (x^{4} - 81)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 ((x^{4} - 81) (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.2

Développez $(x^{4} - 81) (x^{4} - 81)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.10.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} (x^{4} - 81) - 81 (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.10.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.3.1.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.3.1.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.3.1.2

Déplacez $- 81$ à gauche de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 81 \cdot x^{4} - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.3.1.3

Multipliez $- 81$ par $- 81$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 81 x^{4} - 81 x^{4} + 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.3.2

Soustrayez $81 x^{4}$ de $- 81 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 162 x^{4} + 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} + 3 (- 162 x^{4}) + 3 \cdot 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.10.3.1.5.1

Multipliez $- 162$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} - 486 x^{4} + 3 \cdot 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.5.2

Multipliez $3$ par $6561$ .

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} - 486 x^{4} + 19683) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{8} x^{2} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7

Simplifiez

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Étape 3.10.3.1.7.1

Multipliez $x^{8}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.3.1.7.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{2} x^{8}) - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{2 + 8} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7.1.3

Additionnez $2$ et $8$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.3.1.7.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 (x^{2} x^{4}) + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{2 + 4} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.7.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{6} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10}) + 324 (- 486 x^{6}) + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9

Simplifiez

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Étape 3.10.3.1.9.1

Multipliez $3$ par $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} + 324 (- 486 x^{6}) + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9.2

Multipliez $- 486$ par $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.9.3

Multipliez $19683$ par $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.10

Multipliez $x^{6}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.3.1.10.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{4 + 6}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.10.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{10}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.11

Multipliez $- 8$ par $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.12

Multipliez $- 81$ par $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 324 (648 x^{6})}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.1.13

Multipliez $648$ par $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 209952 x^{6}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.2

Soustrayez $2592 x^{10}$ de $972 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1620 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 209952 x^{6}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.3.3

Additionnez $- 157464 x^{6}$ et $209952 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1620 x^{10} + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.4.1

Factorisez $324 x^{2}$ à partir de $- 1620 x^{10} + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}$ .

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Étape 3.10.4.1.1

Factorisez $324 x^{2}$ à partir de $- 1620 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.1.2

Factorisez $324 x^{2}$ à partir de $52488 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4}) + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.1.3

Factorisez $324 x^{2}$ à partir de $6377292 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.1.4

Factorisez $324 x^{2}$ à partir de $324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.1.5

Factorisez $324 x^{2}$ à partir de $324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4} + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 162 x^{4} + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.3

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + 162 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.10.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 5 \cdot 19683 = - 98415$ et dont la somme est $b = 162$ .

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Étape 3.10.4.4.1.1

Factorisez $162$ à partir de $162 u$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + 162 (u) + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.4.1.2

Réécrivez $162$ comme $- 243$ plus $405$

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 243 + 405) u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} - 243 u + 405 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.10.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 u^{2} - 243 u) + 405 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (u (- 5 u - 243) - 81 (- 5 u - 243))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 5 u - 243$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 u - 243) (u - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ({(x^{2})}^{2} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.7

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.4.9

Factorisez.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.5.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{({(x^{2})}^{2} - 81)}^{4}}$

Étape 3.10.5.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{({(x^{2})}^{2} - 9^{2})}^{4}}$

Étape 3.10.5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x^{2} - 9))}^{4}}$

Étape 3.10.5.4

Simplifiez

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Étape 3.10.5.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}))}^{4}}$

Étape 3.10.5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Étape 3.10.5.5

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.6

Développez $(x^{2} + 9) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.10.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.5.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.5.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.10.5.7.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.7.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.7.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.7.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.10.5.8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{3} + 3 x^{2}) + 9 x + 27)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.9

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x + 3) (x^{2} + 9))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.5.10

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x^{2} + 9)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.6

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 9$ et ${(x^{2} + 9)}^{4}$ .

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Étape 3.10.6.1

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.6.2.1

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de ${(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 9) ({(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 3.10.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 9) ({(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 3.10.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.7

Annulez le facteur commun à $x + 3$ et ${(x + 3)}^{4}$ .

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Étape 3.10.7.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.7.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de ${(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 3.10.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 3.10.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.8

Annulez le facteur commun à $x - 3$ et ${(x - 3)}^{4}$ .

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Étape 3.10.8.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 3.10.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.8.2.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Étape 3.10.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Étape 3.10.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4}) - 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10.10

Réécrivez $- 243$ comme $- 1 (243)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4}) - 1 (243)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4} + 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10.12

Réécrivez $- (5 x^{4} + 243)$ comme $- 1 (5 x^{4} + 243)$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}})$

Étape 3.10.15

Multipliez $\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 3.10.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{324 x^{2} (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{4} - 81) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} - 81$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot ((x^{4} - 81) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 81))}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 81))}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $- 81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.3.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.1.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{7} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 81$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}$ .

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Étape 5.1.4.3.2.1

Soustrayez $4 x^{7}$ de $4 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{- 324 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.3.2.2

Additionnez $- 324 x^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.1.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ .

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$324 x^{3} = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $324 x^{3} = 0$ par $324$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $324 x^{3} = 0$ par $324$ .

$\frac{324 x^{3}}{324} = \frac{0}{324}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $324$ .

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Étape 6.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{324 x^{3}}{324} = \frac{0}{324}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{324}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Divisez $0$ par $324$ .

$x^{3} = 0$

Étape 6.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{4} - 81)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 81)}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 9^{2})}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

${((x^{2} + 9) (x^{2} - 9))}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez

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Étape 7.2.1.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}))}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.4.2

Factorisez.

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Étape 7.2.1.4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

${((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)))}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

${((x^{2} + 9) (x + 3))}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 9) (x + 3)$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2.3

Définissez ${(x^{2} + 9)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez ${(x^{2} + 9)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$

Étape 7.2.3.2

Résolvez ${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Définissez le $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 7.2.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.2.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 7.2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 7.2.3.2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 7.2.3.2.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 7.2.3.2.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 7.2.3.2.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 7.2.3.2.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 7.2.3.2.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 7.2.3.2.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 7.2.3.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.3.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 7.2.3.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 7.2.3.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 7.2.4

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2.4.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.4.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 7.2.4.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7.2.5

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.5.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2.5.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.5.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.2.5.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 9)}^{2} {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{324 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 243)}{{((0) + 3)}^{3} {({(0)}^{2} + 9)}^{3} {((0) - 3)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 243)}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} (0 + 243)}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $0$ et $243$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} \cdot 243}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $243$ par $324$ .

$\frac{78732 \cdot 0^{2}}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 3))}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.2.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 \cdot (0 - 3)$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Étape 10.2.6

Multipliez ${(0 - 3)}^{3}$ par ${(0 - 3)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.6.1

Déplacez ${(0 - 3)}^{3}$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 3)}^{3} {(0 - 3)}^{3}) {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Étape 10.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{3 + 3} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Étape 10.2.6.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Étape 10.3

Multipliez $78732$ par $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Étape 10.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.4.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Étape 10.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} {(0 + 9)}^{3}}$

Étape 10.4.3

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} \cdot 9^{3}}$

Étape 10.4.4

Associez les exposants.

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Étape 10.4.4.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (3))}^{6} \cdot 9^{3}}$

Étape 10.4.4.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (3)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 3^{6}) \cdot 9^{3}}$

Étape 10.4.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 3^{6}) \cdot 9^{3}}$

Étape 10.4.4.4

Multipliez $3^{6}$ par $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{6} \cdot 9^{3}}$

Étape 10.4.4.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(3^{2})}^{3} \cdot 3^{6})}$

Étape 10.4.4.6

Multipliez les exposants dans ${(3^{2})}^{3}$ .

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Étape 10.4.4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{6})}$

Étape 10.4.4.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (3^{6} \cdot 3^{6})}$

Étape 10.4.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{6 + 6}}$

Étape 10.4.4.8

Additionnez $6$ et $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{12}}$

Étape 10.4.5

Élevez $3$ à la puissance $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 531441}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $531441$ .

$\frac{0}{- 531441}$

Étape 10.5.2

Divisez $0$ par $- 531441$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 6$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = - \frac{324 {(- 6)}^{3}}{{({(- 6)}^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{{({(- 6)}^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{{(1296 - 81)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2.2

Soustrayez $81$ de $1296$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{1215^{2}}$

Étape 11.2.2.2.3

Élevez $1215$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{1476225}$

Étape 11.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.3.1

Multipliez $324$ par $- 216$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 69984}{1476225}$

Étape 11.2.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 69984$ et $1476225$ .

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Étape 11.2.2.3.2.1

Factorisez $2187$ à partir de $- 69984$ .

$f' (- 6) = - \frac{2187 (- 32)}{1476225}$

Étape 11.2.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.3.2.2.1

Factorisez $2187$ à partir de $1476225$ .

$f' (- 6) = - \frac{2187 \cdot - 32}{2187 \cdot 675}$

Étape 11.2.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 6) = - \frac{2187 \cdot - 32}{2187 \cdot 675}$

Étape 11.2.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 6) = - \frac{- 32}{675}$

Étape 11.2.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 6) = \frac{32}{675}$

Étape 11.2.2.4

La réponse finale est $\frac{32}{675}$ .

$\frac{32}{675}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - \frac{324 {(2)}^{3}}{{({(2)}^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(2^{4} - 81)}^{2}}$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(16 - 81)}^{2}}$

Étape 11.3.2.2.2

Soustrayez $81$ de $16$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(- 65)}^{2}}$

Étape 11.3.2.2.3

Élevez $- 65$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{4225}$

Étape 11.3.2.3

Multipliez $324$ par $8$ .

$f' (2) = - \frac{2592}{4225}$

Étape 11.3.2.4

La réponse finale est $- \frac{2592}{4225}$ .

$- \frac{2592}{4225}$

Étape 11.4

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12