Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{1 + x}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x}{1 + x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $1 + x$ par $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.7.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.7.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.2.7.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ comme ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Étape 3.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 6

Aucun extremum local

Étape 7