Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ comme ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 + 2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + 2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.7.3

Placez ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

Étape 2.16

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

Étape 2.17

Simplifiez

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Étape 2.17.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.2

Multipliez $2 - 2 x$ par $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.17.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.17.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - x$ et $g (x) = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.4.6.3

Réécrivez $- 1 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme $- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.10.3

Placez ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.14

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.16

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x)))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.19

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20

Simplifiez

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Étape 3.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 + x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.20.2.1

Laissez $u_{2} = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{u_{2}}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{u_{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.20.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.20.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.20.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- \frac{(3 + 2 x - x^{2}) + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.2

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{- \frac{3 + 2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.4

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{- x^{2} + x^{2} + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.5

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.2.3.7

Additionnez $0$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.3

Associez des termes.

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Étape 3.20.3.1

Réécrivez $\frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$

Étape 3.20.3.2

Multipliez $\frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$ par $\frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.20.3.3

Multipliez $3 + 2 x - x^{2}$ par ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.20.3.3.1

Multipliez $3 + 2 x - x^{2}$ par ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.20.3.3.1.1

Élevez $3 + 2 x - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.20.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.20.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.20.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 3.20.3.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ comme ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + 2 x - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.7

Associez les fractions.

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Étape 5.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.7.3

Placez ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

Étape 5.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 5.1.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 5.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 5.1.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 5.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 5.1.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 5.1.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 5.1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x))$

Étape 5.1.16

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x)$

Étape 5.1.17

Simplifiez

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Étape 5.1.17.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5.1.17.2

Multipliez $2 - 2 x$ par $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.17.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.17.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.17.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.17.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.17.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 5.1.17.6.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.17.6.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - x = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 6.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1 - x}{\sqrt{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{3 + 2 x - x^{2}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ comme ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 + 2 x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Simplifiez

$3 + 2 x - x^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 + 2 x - x^{2}$ .

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Étape 7.3.3.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 7.3.3.1.1.1.1

Déplacez $3$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.3.3.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Étape 7.3.3.1.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Étape 7.3.3.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Étape 7.3.3.1.1.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.3.3.1.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.3.3.1.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 7.3.3.1.2

Factorisez.

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Étape 7.3.3.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.3.3.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 7.3.3.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 7.3.3.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 7.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.3.3.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.3.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.3.3.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.3.3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 + 2 x - x^{2} < 0$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 + 2 x - x^{2}$ .

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Étape 7.5.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 7.5.2.1.1.1

Déplacez $3$ .

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Étape 7.5.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Étape 7.5.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Étape 7.5.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Étape 7.5.2.1.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.5.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.5.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 7.5.2.2

Factorisez.

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Étape 7.5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 7.5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 7.5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 7.5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.5.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.5.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.5.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 7.5.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Étape 7.5.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.5.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.5.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.5.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 + 2 (- 4) - {(- 4)}^{2} < 0$

Étape 7.5.8.1.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.5.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.5.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.5.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 + 2 (0) - {(0)}^{2} < 0$

Étape 7.5.8.2.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.5.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.5.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.5.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$3 + 2 (6) - {(6)}^{2} < 0$

Étape 7.5.8.3.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.5.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 7.5.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $x > 3$

Étape 7.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 1, 3$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4}{{(3 + 2 (1) - {(1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{4}{{(5 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $1$ de $5$ .

$- \frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{2^{3}}$

Étape 10.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4}{8}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{8}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2}$

Étape 11

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \sqrt{3 + 2 (1) - {(1)}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - {(1)}^{2}}$

Étape 12.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

Étape 12.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1}$

Étape 12.2.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (1) = \sqrt{5 - 1}$

Étape 12.2.5

Soustrayez $1$ de $5$ .

$f (1) = \sqrt{4}$

Étape 12.2.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{2^{2}}$

Étape 12.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1) = 2$

Étape 12.2.8

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4}{{(3 + 2 (- 1) - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.1.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 14.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1 + 2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4}{{(3 - 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- \frac{4}{{(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{4}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{4}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 14.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 14.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{0^{3}}$

Étape 14.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4}{0}$

Étape 14.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{4}{0}$

Étape 14.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 16