Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Étape 1

Écrivez $y = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ comme ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.7.3

Placez ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 2.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Étape 2.13

Simplifiez les termes.

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Étape 2.13.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Étape 2.13.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Étape 2.13.3

Associez $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.3.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9.3

Placez ${(8 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.9.4

Associez $\frac{2}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.11

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.14

Multipliez.

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Étape 3.14.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 (\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.14.2

Multipliez $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 x^{2})}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.16

Associez les fractions.

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Étape 3.16.1

Associez $3$ et $\frac{2 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.16.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}} \cdot x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.16.3

Associez $\frac{6 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2} x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.17

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 (x^{2} x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{2 + 2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.17.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{6 x^{4}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.18

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{3 (2 x^{4})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.19.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.19.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{2 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 x^{4}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.20

Remettez dans l’ordre $8$ et $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.21

Pour écrire $2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.23

Multipliez ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.23.1

Déplacez ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.23.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.23.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 8)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.23.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.24

Simplifiez $2 x {(- x^{3} + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.25

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.26

Multipliez $\frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(8 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.27

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.28

Multipliez ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(- x^{3} + 8)}^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.28.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.28.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.28.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 3.29

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Étape 3.30

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.30.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ par $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 3.30.2

Additionnez $- \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 8) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31

Simplifiez

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Étape 3.31.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.31.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.31.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x \cdot x^{3}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.31.2.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.1.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.31.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 (x^{3} x)) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{3 + 1}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.1.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot (- 1 x^{4}) + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 8 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.1.4

Multipliez $8$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.2

Associez les termes opposés dans $- 2 x^{4} + 16 x + 2 x^{4}$ .

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Étape 3.31.2.2.1

Additionnez $- 2 x^{4}$ et $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x + 0}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.31.2.2.2

Additionnez $16 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{8 - x^{3}}$ comme ${(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.7

Associez les fractions.

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Étape 5.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.7.3

Placez ${(8 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Étape 5.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 5.1.9

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 5.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 5.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 x^{2}))$

Étape 5.1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1.13.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 x^{2})$

Étape 5.1.13.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Étape 5.1.13.3

Associez $\frac{- 3}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.13.4

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.14.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 5.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ comme ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(8 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(8 - x^{3})}^{2} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.3.3.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(2^{3} - x^{3})}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2$ et $b = x$ .

${((2 - x) (2^{2} + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${((2 - x) (4 + 2 x + x^{2}))}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.1.4

Appliquez la règle de produit à $(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})$ .

${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.3

Définissez ${(2 - x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.3.1

Définissez ${(2 - x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.3.2

Résolvez ${(2 - x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.3.3.2.1

Définissez le $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 7.3.3.3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.3.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 7.3.3.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.3.3.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.3.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.3.3.3.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.3.3.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.3.2.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 7.3.3.4

Définissez ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.4.1

Définissez ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2}$ égal à $0$ .

${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$

Étape 7.3.3.4.2

Résolvez ${(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.3.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.3.3.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.3.3.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$4 + 2 x + x^{2} = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.3.3.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 + 2 x + x^{2} = \pm 0$

Étape 7.3.3.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$4 + 2 x + x^{2} = 0$

Étape 7.3.3.4.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.3.3.4.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5

Simplifiez

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Étape 7.3.3.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.3.4.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 7.3.3.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.3.3.4.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.3.3.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 7.3.3.4.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.3.3.4.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.3.4.2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 7.3.3.4.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.3.3.4.2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.3.3.4.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 7.3.3.4.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 7.3.3.4.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.3.3.4.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.3.4.2.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 7.3.3.4.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.3.3.4.2.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.3.4.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.3.3.4.2.7.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 7.3.3.4.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 7.3.3.4.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 7.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(2 - x)}^{2} {(4 + 2 x + x^{2})}^{2} = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 7.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 2$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{16 (0)}{{(- {(0)}^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $16$ par $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0^{3} + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{0}{{(- 0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{0}{{(0 + 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$- \frac{0}{8^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{0}{{(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 10.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{0}{2^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 10.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{0}{2^{5}}$

Étape 10.2.6

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$- \frac{0}{32}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Divisez $0$ par $32$ .

$- 0$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 - {(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{{(8 + 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.2.2.2

Additionnez $8$ et $8$ .

$f' (- 2) = - \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4}{16^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{{(8 - {(1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1 \cdot 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{{(8 - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.2.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f' (1) = - \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(8 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(8 - 64)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.4.2.2.2

Soustrayez $64$ de $8$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{16}{{(- 56)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.6

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \sqrt[3]{8 - x^{3}}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 12