Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Étape 2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.2.5

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.2.6.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x + \ln (x) (2 x))$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 3 (\ln (x) (2 x))$

Étape 3.3.2

Associez des termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 6 (\ln (x) (x))$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$f'' (x) = 5 x + 6 \ln (x) x$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 6 x \ln (x) + 5 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1.3.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Étape 5.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ par $3 x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ par $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Étape 6.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{1}{3}$

Étape 6.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{3}}$

Étape 6.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{1}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{3}} = x$

Étape 6.6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{1}{3}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{3}}$

Étape 6.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 7.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Associez $6$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.2

Placez $e^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (e^{- \frac{1}{3}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.3

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ en déplaçant $- \frac{1}{3}$ hors du logarithme.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \ln (e)) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \cdot 1) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2)}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.7

Associez $\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}}$ et $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 10.1.10

Associez $5$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 + 5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$\frac{3}{e^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 12.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 12.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 12.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 12.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Étape 12.2.3

Placez $e^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{3}})$

Étape 12.2.4

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ en déplaçant $- \frac{1}{3}$ hors du logarithme.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \ln (e))$

Étape 12.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 12.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3})$

Étape 12.2.7

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{e \cdot 3}$

Étape 12.2.8

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{3 e}$

Étape 12.2.9

La réponse finale est $- \frac{1}{3 e}$ .

$y = - \frac{1}{3 e}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}, - \frac{1}{3 e})$ est un minimum local

Étape 14