Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} + x^{3} - x^{2} - 2 x - 3$

Étape 1

Écrivez $y = x^{4} + x^{3} - x^{2} - 2 x - 3$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} - 2 x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + x^{3} - x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2$ et $0$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 2 + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $12 x^{2} + 6 x - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 2$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.76328358$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0.76328358$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.76328358$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0.76328358)}^{2} + 6 (0.76328358) - 2$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Élevez $0.76328358$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 0.58260183 + 6 (0.76328358) - 2$

Étape 10.1.2

Multipliez $12$ par $0.58260183$ .

$6.99122201 + 6 (0.76328358) - 2$

Étape 10.1.3

Multipliez $6$ par $0.76328358$ .

$6.99122201 + 4.57970152 - 2$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.1

Additionnez $6.99122201$ et $4.57970152$ .

$11.57092353 - 2$

Étape 10.2.2

Soustrayez $2$ de $11.57092353$ .

$9.57092353$

Étape 11

$x = 0.76328358$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.76328358$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0.76328358$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0.76328358$ dans l’expression.

$f (0.76328358) = {(0.76328358)}^{4} + {(0.76328358)}^{3} - {(0.76328358)}^{2} - 2 \cdot 0.76328358 - 3$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $0.76328358$ à la puissance $4$ .

$f (0.76328358) = 0.33942489 + {(0.76328358)}^{3} - {(0.76328358)}^{2} - 2 \cdot 0.76328358 - 3$

Étape 12.2.1.2

Élevez $0.76328358$ à la puissance $3$ .

$f (0.76328358) = 0.33942489 + 0.44469041 - {(0.76328358)}^{2} - 2 \cdot 0.76328358 - 3$

Étape 12.2.1.3

Élevez $0.76328358$ à la puissance $2$ .

$f (0.76328358) = 0.33942489 + 0.44469041 - 1 \cdot 0.58260183 - 2 \cdot 0.76328358 - 3$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.58260183$ .

$f (0.76328358) = 0.33942489 + 0.44469041 - 0.58260183 - 2 \cdot 0.76328358 - 3$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $0.76328358$ .

$f (0.76328358) = 0.33942489 + 0.44469041 - 0.58260183 - 1.52656717 - 3$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $0.33942489$ et $0.44469041$ .

$f (0.76328358) = 0.78411531 - 0.58260183 - 1.52656717 - 3$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $0.58260183$ de $0.78411531$ .

$f (0.76328358) = 0.20151348 - 1.52656717 - 3$

Étape 12.2.2.3

Soustrayez $1.52656717$ de $0.20151348$ .

$f (0.76328358) = - 1.32505369 - 3$

Étape 12.2.2.4

Soustrayez $3$ de $- 1.32505369$ .

$f (0.76328358) = - 4.32505369$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 4.32505369$ .

$y = - 4.32505369$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} - 2 x - 3$ .

$(0.76328358, - 4.32505369)$ est un minimum local

Étape 14