Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \arccos (x^{6})$

Étape 1

Écrivez $y = 3 \arccos (x^{6})$ comme une fonction.

$f (x) = 3 \arccos (x^{6})$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \arccos (x^{6})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arccos (x)$ et $g (x) = x^{6}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\arccos (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{6 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} (6 x^{5})$

Étape 2.3.4

Associez les fractions.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Étape 2.3.4.2

Associez $- 6$ et $\frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

Étape 2.3.4.4

Associez $\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ et $x^{5}$ .

$\frac{- 18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Étape 2.3.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{12}}$ comme ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.1.2

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.4

Simplifiez

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.5.2

Déplacez $5$ à gauche de ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 \cdot ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{12}$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.11

Associez les fractions.

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Étape 3.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{{(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.11.3

Placez ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12})}{1 - x^{12}}$

Étape 3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{12}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

Étape 3.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{12})}{1 - x^{12}}$

Étape 3.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{12}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{12})}{1 - x^{12}}$

Étape 3.16

Multipliez.

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Étape 3.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + 1 (\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Étape 3.16.2

Multipliez $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

Étape 3.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (12 x^{11})}{1 - x^{12}}$

Étape 3.18

Associez les fractions.

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Étape 3.18.1

Associez $12$ et $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{11}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.18.2

Associez $\frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5} x^{11}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.19

Multipliez $x^{5}$ par $x^{11}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.1

Déplacez $x^{11}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 (x^{11} x^{5})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{11 + 5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.19.3

Additionnez $11$ et $5$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{16}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.20

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{16}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.21

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.21.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.21.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.21.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{6 x^{16}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.22

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x^{12}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.23

Pour écrire $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.25

Multipliez ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.25.1

Déplacez ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} ({(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.25.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.25.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.25.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{2}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.25.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.26

Simplifiez $5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

Étape 3.27

Réécrivez $\frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - 18 (\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{12}})$

Étape 3.28

Multipliez $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{1 - x^{12}}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{12})}$

Étape 3.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Étape 3.30

Multipliez ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{12} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.30.1

Multipliez ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{12} + 1$ .

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Étape 3.30.1.1

Élevez $- x^{12} + 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

Étape 3.30.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 3.30.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 3.30.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 3.30.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.31

Associez $- 18$ et $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.32

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.33.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12}) + 5 x^{4} \cdot 1 + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12})) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.33.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.33.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{12}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.33.3.1.1.1

Déplacez $x^{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 (x^{12} x^{4}) \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{12 + 4} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.1.1.3

Additionnez $12$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{16} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{18 (- 5 x^{16}) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4}) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.1.5

Multipliez $5$ par $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.1.6

Multipliez $6$ par $18$ .

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 108 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.3.2

Additionnez $- 90 x^{16}$ et $108 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{16} + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.4

Factorisez $18 x^{4}$ à partir de $18 x^{16} + 90 x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.33.4.1

Factorisez $18 x^{4}$ à partir de $18 x^{16}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.4.2

Factorisez $18 x^{4}$ à partir de $90 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.33.4.3

Factorisez $18 x^{4}$ à partir de $18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)$ .

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12} + 5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}} = 0$

Étape 5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$18 x^{5} = 0$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $18 x^{5} = 0$ par $18$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $18 x^{5} = 0$ par $18$ .

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

Étape 6.1.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{18}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Divisez $0$ par $18$ .

$x^{5} = 0$

Étape 6.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 6.3

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 6.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 6.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{18 {(0)}^{4} ({(0)}^{12} + 5)}{{(- {(0)}^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} (0 + 5)}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $0$ et $5$ .

$- \frac{18 \cdot 0^{4} \cdot 5}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.1.3

Multipliez $5$ par $18$ .

$- \frac{90 \cdot 0^{4}}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$- \frac{90 \cdot 0}{1^{\frac{3}{2}}}$

Étape 8.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{90 \cdot 0}{1}$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez $90$ par $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Étape 8.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

$- 0$

Étape 8.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 9

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 9.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 9.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = - \frac{18 {(- 0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $5$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.2.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $12$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Étape 9.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0.00024414$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Étape 9.2.2.2.3

Soustrayez $0.00024414$ de $1$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.3.1

Multipliez $18$ par $- 0.03125$ .

$f' (- 0.5) = - \frac{- 0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.2.2.4

Multipliez $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ par $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.2.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.5.1

Multipliez $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ par $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.2.2.5.2

Élevez $\sqrt{0.99975585}$ à la puissance $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.2.2.5.3

Élevez $\sqrt{0.99975585}$ à la puissance $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.2.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Étape 9.2.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Étape 9.2.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ comme $0.99975585$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{0.99975585}$ comme ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.2.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Étape 9.2.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Étape 9.2.2.6

Multipliez $0.5625$ par $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (- 0.5) = \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Étape 9.2.2.7

Divisez $0.56243133$ par $0.99975585$ .

$f' (- 0.5) = - (- 1 \cdot 0.56256867)$

Étape 9.2.2.8

Multipliez $- (- 1 \cdot 0.56256867)$ .

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Étape 9.2.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Étape 9.2.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.56256867$ .

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

Étape 9.2.2.9

La réponse finale est $0.56256867$ .

$0.56256867$

Étape 9.3

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f' (0.5) = - \frac{18 {(0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(0.5)}^{12}}}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.3.2.1

Élevez $0.5$ à la puissance $5$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - {0.5}^{12}}}$

Étape 9.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.2.1

Élevez $0.5$ à la puissance $12$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

Étape 9.3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0.00024414$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

Étape 9.3.2.2.3

Soustrayez $0.00024414$ de $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $18$ par $0.03125$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.3.2.4

Multipliez $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ par $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - (\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}})$

Étape 9.3.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.5.1

Multipliez $\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ par $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.3.2.5.2

Élevez $\sqrt{0.99975585}$ à la puissance $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.3.2.5.3

Élevez $\sqrt{0.99975585}$ à la puissance $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

Étape 9.3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

Étape 9.3.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ comme $0.99975585$ .

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Étape 9.3.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{0.99975585}$ comme ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Étape 9.3.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

Étape 9.3.2.6

Multipliez $0.5625$ par $\sqrt{0.99975585}$ .

$f' (0.5) = - \frac{0.56243133}{0.99975585}$

Étape 9.3.2.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.7.1

Divisez $0.56243133$ par $0.99975585$ .

$f' (0.5) = - 1 \cdot 0.56256867$

Étape 9.3.2.7.2

Multipliez $- 1$ par $0.56256867$ .

$f' (0.5) = - 0.56256867$

Étape 9.3.2.8

La réponse finale est $- 0.56256867$ .

$- 0.56256867$

Étape 9.4

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 10