Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $y = 2 x {(x - 2)}^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(x - 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Étape 2.4.6

Multipliez ${(x - 2)}^{3}$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Étape 2.5.3

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Étape 2.5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Étape 2.5.5

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 2.5.6

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 2.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 2.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 2.5.7.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 2.5.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 2.5.7.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 2.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Étape 2.5.9

Simplifiez

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Étape 2.5.9.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Étape 2.5.9.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Étape 2.5.10

Développez $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.11.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.11.6.1

Déplacez $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.7

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.8

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.9

Multipliez $4$ par $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Étape 2.5.11.10

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Étape 2.5.12

Soustrayez $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Étape 2.5.13

Additionnez $16 x$ et $32 x$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 36$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.4.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48 + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $24 x^{2} - 72 x + 48$ et $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 x + 48$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(x - 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$

Étape 5.1.2

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 5.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4

Différenciez.

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Étape 5.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Étape 5.1.4.6

Multipliez ${(x - 2)}^{3}$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Étape 5.1.5

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (x ({(x - 2)}^{2})) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Étape 5.1.5.3

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{3}$ .

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Étape 5.1.5.3.1

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $6 x {(x - 2)}^{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{3}$

Étape 5.1.5.3.2

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 5.1.5.3.3

Factorisez $2 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $2 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Étape 5.1.5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$2 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.5

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$2 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.6

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.7.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.7.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.9.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.9.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$

Étape 5.1.5.10

Développez $(2 x^{2} - 8 x + 8) (4 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.5.11.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.5.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.5.11.6.1

Déplacez $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.7

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 2 + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.8

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 8 (4 x) + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.9

Multipliez $4$ par $8$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x + 8 \cdot - 2$

Étape 5.1.5.11.10

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$8 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Étape 5.1.5.12

Soustrayez $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 16 x + 32 x - 16$

Étape 5.1.5.13

Additionnez $16 x$ et $32 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{3}$ .

$4 (2 x^{3}) - 36 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 36 x^{2}$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 48 x - 16 = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $48 x$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) - 16 = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{3}) + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x) + 4 (- 4) = 0$

Étape 6.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (12 x)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4) = 0$

Étape 6.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x) + 4 (- 4)$ .

$4 (2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 6.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Étape 6.2.2.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.2.2.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 6.2.2.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 6.2.2.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 - 9 \cdot {0.5}^{2} + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 6.2.2.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 - 9 \cdot 0.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 6.2.2.3.5

Multipliez $- 9$ par $0.25$ .

$0.25 - 2.25 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 6.2.2.3.6

Soustrayez $2.25$ de $0.25$ .

$- 2 + 12 \cdot 0.5 - 4$

Étape 6.2.2.3.7

Multipliez $12$ par $0.5$ .

$- 2 + 6 - 4$

Étape 6.2.2.3.8

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$4 - 4$

Étape 6.2.2.3.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 6.2.2.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4}{2 x - 1}$

Étape 6.2.2.5

Divisez $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ par $2 x - 1$ .

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Étape 6.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$9 x^{2}$

$12 x$

$4$

Étape 6.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$

Étape 6.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 6.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 6.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 6.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 6.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 6.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 6.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 6.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

Étape 6.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 6.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 6.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Étape 6.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x - 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Étape 6.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$12 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Étape 6.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 6.2.2.6

Écrivez $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez.

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Étape 6.2.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Étape 6.2.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 6.2.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$4 ((2 x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.2.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 ((2 x - 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Étape 6.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.5

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.5.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (2 x - 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2}, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$24 {(\frac{1}{2})}^{2} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Étape 10.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$24 \frac{1}{2^{2}} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Étape 10.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$24 (\frac{1}{4}) - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Étape 10.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Étape 10.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4} - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Étape 10.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$6 - 72 (\frac{1}{2}) + 48$

Étape 10.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$6 + 2 (- 36) \frac{1}{2} + 48$

Étape 10.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$6 + 2 \cdot - 36 \frac{1}{2} + 48$

Étape 10.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$6 - 36 + 48$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $36$ de $6$ .

$- 30 + 48$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 30$ et $48$ .

$18$

Étape 11

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) \cdot {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Étape 12.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 1 {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Étape 12.2.2

Multipliez ${((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$ par $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {((\frac{1}{2}) - 2)}^{3}$

Étape 12.2.3

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Étape 12.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Étape 12.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 2 \cdot 2}{2})}^{3}$

Étape 12.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1 - 4}{2})}^{3}$

Étape 12.2.6.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Étape 12.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Étape 12.2.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}$

Étape 12.2.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})$

Étape 12.2.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3^{3}}{2^{3}}$

Étape 12.2.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{2^{3}}$

Étape 12.2.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{27}{8}$

Étape 12.2.12

La réponse finale est $- \frac{27}{8}$ .

$y = - \frac{27}{8}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$24 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2 + 48$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$24 \cdot 4 - 72 \cdot 2 + 48$

Étape 14.1.2

Multipliez $24$ par $4$ .

$96 - 72 \cdot 2 + 48$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 72$ par $2$ .

$96 - 144 + 48$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $144$ de $96$ .

$- 48 + 48$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 48$ et $48$ .

$0$

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{2})$ dans la dérivée première $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 8 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 8 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Étape 15.2.2.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 48 (0) - 16$

Étape 15.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 48 (0) - 16$

Étape 15.2.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 48 (0) - 16$

Étape 15.2.2.1.5

Multipliez $48$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 16$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 16$

Étape 15.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 16$

Étape 15.2.2.2.3

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f' (0) = - 16$

Étape 15.2.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$- 16$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(\frac{1}{2}, 2)$ dans la dérivée première $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 8 \cdot 1 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Étape 15.3.2.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 {(1)}^{2} + 48 (1) - 16$

Étape 15.3.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 8 - 36 \cdot 1 + 48 (1) - 16$

Étape 15.3.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 (1) - 16$

Étape 15.3.2.1.5

Multipliez $48$ par $1$ .

$f' (1) = 8 - 36 + 48 - 16$

Étape 15.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.3.2.2.1

Soustrayez $36$ de $8$ .

$f' (1) = - 28 + 48 - 16$

Étape 15.3.2.2.2

Additionnez $- 28$ et $48$ .

$f' (1) = 20 - 16$

Étape 15.3.2.2.3

Soustrayez $16$ de $20$ .

$f' (1) = 4$

Étape 15.3.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $8 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 16$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 8 {(4)}^{3} - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 8 \cdot 64 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Étape 15.4.2.1.2

Multipliez $8$ par $64$ .

$f' (4) = 512 - 36 {(4)}^{2} + 48 (4) - 16$

Étape 15.4.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 512 - 36 \cdot 16 + 48 (4) - 16$

Étape 15.4.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $16$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 48 (4) - 16$

Étape 15.4.2.1.5

Multipliez $48$ par $4$ .

$f' (4) = 512 - 576 + 192 - 16$

Étape 15.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.4.2.2.1

Soustrayez $576$ de $512$ .

$f' (4) = - 64 + 192 - 16$

Étape 15.4.2.2.2

Additionnez $- 64$ et $192$ .

$f' (4) = 128 - 16$

Étape 15.4.2.2.3

Soustrayez $16$ de $128$ .

$f' (4) = 112$

Étape 15.4.2.3

La réponse finale est $112$ .

$112$

Étape 15.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{1}{2}$ , $x = \frac{1}{2}$ est un minimum local.

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local

Étape 15.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 15.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x {(x - 2)}^{3}$ .

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local

Étape 16