Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Étape 1

Écrivez $y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ comme une fonction.

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Étape 2.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{π}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{12} (x - 2)$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

Étape 2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Étape 2.2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Étape 2.2.8

Multipliez $\frac{π}{12}$ par $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

Étape 2.2.9

Associez $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ et $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Étape 2.2.10

Associez $5$ et $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{π}{12}$ et $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $12$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

Étape 2.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

Étape 2.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

Étape 2.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

Étape 2.3.2.5

Associez $\frac{π}{12}$ et $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $0$ et $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{5 π}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ par rapport à $x$ est $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{5 π}{12}$ et $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 3.3.3

Comme $\frac{π}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{12}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{π}{12}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 3.3.6

Comme $- \frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

Étape 3.3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $\frac{π}{12}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $\frac{π}{12}$ par $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

Étape 3.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Étape 3.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Étape 3.8

Multipliez $12$ par $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

Étape 5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ par $5 π$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ par $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Étape 6.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Étape 6.1.2.2.2

Divisez $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ par $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 6.1.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

Étape 6.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

Étape 6.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

Étape 6.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Étape 6.1.3.2

Divisez $0$ par $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Étape 6.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Ajoutez $\frac{π}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Étape 6.4.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Étape 6.4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Étape 6.4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 6.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Étape 6.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Étape 6.4.5.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

Étape 6.4.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 6.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Étape 6.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Étape 6.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 6.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

Étape 6.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.1.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Étape 6.6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 6.6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.6.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.2.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 6.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.6.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 6.6.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Étape 6.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.6.2.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Étape 6.6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Étape 6.6.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 4 \cdot 2$

Étape 6.6.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = 8$

Étape 6.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.8

Résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.8.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.8.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.8.2.1

Ajoutez $\frac{π}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Étape 6.8.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Étape 6.8.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.8.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Étape 6.8.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 6.8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Étape 6.8.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

Étape 6.8.2.5.2

Additionnez $9 π$ et $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

Étape 6.8.2.6

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $10 π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Étape 6.8.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Étape 6.8.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 6.8.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.1.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.2.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 6.8.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

Étape 6.8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.4.2.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Étape 6.8.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Étape 6.8.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 4 \cdot 5$

Étape 6.8.4.2.1.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$x = 20$

Étape 6.9

La solution de l’équation est $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 8$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $π (8)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.2.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Étape 8.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

Étape 8.2.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

Étape 8.2.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

Étape 8.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Étape 8.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Étape 8.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

Étape 8.2.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

Étape 8.2.8

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

Étape 9

$x = 8$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 8$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Soustrayez $2$ de $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

Étape 10.2.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

Étape 10.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

Étape 10.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

Étape 10.2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$f (8) = 3$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 20$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Annulez le facteur commun à $20$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Factorisez $4$ à partir de $π (20)$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.2.2

Pour écrire $\frac{5 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $π$ de $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

Étape 12.2.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

Étape 12.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

Étape 12.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

Étape 12.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

Étape 12.2.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

Étape 12.2.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

Étape 12.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

Étape 12.2.10

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Étape 12.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

Étape 12.4

Multipliez $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

Étape 12.4.2

Multipliez $\frac{5 π^{2}}{144}$ par $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

Étape 13

$x = 20$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 20$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $20$ dans l’expression.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.1

Soustrayez $2$ de $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

Étape 14.2.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

Étape 14.2.1.2.2

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Étape 14.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Étape 14.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Étape 14.2.1.3

Associez $\frac{π}{2}$ et $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Étape 14.2.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Étape 14.2.1.5

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 14.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.2.1.7

Multipliez $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

Étape 14.2.1.7.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

Étape 14.2.2

Soustrayez $5$ de $- 2$ .

$f (20) = - 7$

Étape 14.2.3

La réponse finale est $- 7$ .

$y = - 7$

Étape 15

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ est un maximum local

$(20, - 7)$ est un minimum local

Étape 16