Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{- 11 x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $y = x e^{- 11 x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{- 11 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 11 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 11 x^{2}}] + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 11 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 11 x^{2}$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.2

Déplacez $- 22$ à gauche de $e^{- 11 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 22 \cdot e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1$

Étape 2.9

Multipliez $e^{- 11 x^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$

Étape 2.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$ .

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 11 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 22 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 11 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 22 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 11 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.4

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - 22 (x \cdot x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 22 (x \cdot x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 22 (x^{1 + 2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.2.9

Déplacez $- 22$ à gauche de $e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 11 x^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})$

Étape 3.3.2

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}})) - 22 (e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 22$ par $- 22$ .

$f'' (x) = 484 (x^{3} (e^{- 11 x^{2}})) - 22 (e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 22$ .

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 44 (e^{- 11 x^{2}} (x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Étape 3.4.2.3

Déplacez $e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 44 x e^{- 11 x^{2}} - 22 x e^{- 11 x^{2}}$

Étape 3.4.2.4

Soustrayez $22 x e^{- 11 x^{2}}$ de $- 44 x e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 66 x e^{- 11 x^{2}}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 484 e^{- 11 x^{2}} x^{3} - 66 e^{- 11 x^{2}} x$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $484 e^{- 11 x^{2}} x^{3} - 66 e^{- 11 x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 66 x e^{- 11 x^{2}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 11 x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 11 x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.7.2

Déplacez $- 22$ à gauche de $e^{- 11 x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 22 \cdot e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 5.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1$

Étape 5.1.9

Multipliez $e^{- 11 x^{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}}$

Étape 5.1.10

Simplifiez

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Étape 5.1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$

Étape 5.1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$ .

$f' (x) = - 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$ .

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $e^{- 11 x^{2}}$ à partir de $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $e^{- 11 x^{2}}$ à partir de $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}$ .

$e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2}) + e^{- 11 x^{2}} = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $e^{- 11 x^{2}}$ à partir de $e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2} + 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 11 x^{2}} = 0$

$- 22 x^{2} + 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $e^{- 11 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $e^{- 11 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- 11 x^{2}} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $e^{- 11 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 11 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 6.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 11 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 6.5

Définissez $- 22 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $- 22 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$- 22 x^{2} + 1 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $- 22 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 22 x^{2} = - 1$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 22 x^{2} = - 1$ par $- 22$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 22 x^{2} = - 1$ par $- 22$ .

$\frac{- 22 x^{2}}{- 22} = \frac{- 1}{- 22}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 22$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 22 x^{2}}{- 22} = \frac{- 1}{- 22}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 22}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{22}$

Étape 6.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{22}}$

Étape 6.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{22}}$ .

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Étape 6.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{22}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{22}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{22}}$

Étape 6.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{22}}$

Étape 6.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{22}}$ par $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{22}} \cdot \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

Étape 6.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{22}}$ par $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22} \sqrt{22}}$

Étape 6.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{22}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} \sqrt{22}}$

Étape 6.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{22}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} {\sqrt{22}}^{1}}$

Étape 6.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1 + 1}}$

Étape 6.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{2}}$

Étape 6.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

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Étape 6.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{1}}$

Étape 6.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22}$

Étape 6.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}$

Étape 6.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Étape 6.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$484 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{3} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$484 \frac{{\sqrt{22}}^{3}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{3}$ comme $\sqrt{22^{3}}$ .

$484 \frac{\sqrt{22^{3}}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.2.2

Élevez $22$ à la puissance $3$ .

$484 \frac{\sqrt{10648}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.2.3

Réécrivez $10648$ comme $22^{2} \cdot 22$ .

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Étape 10.1.2.3.1

Factorisez $484$ à partir de $10648$ .

$484 \frac{\sqrt{484 (22)}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.2.3.2

Réécrivez $484$ comme $22^{2}$ .

$484 \frac{\sqrt{22^{2} \cdot 22}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.3

Élevez $22$ à la puissance $3$ .

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{10648} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.4

Annulez le facteur commun de $484$ .

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Étape 10.1.4.1

Factorisez $484$ à partir de $10648$ .

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{484 (22)} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{484 \cdot 22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{22 \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.5

Annulez le facteur commun de $22$ .

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Étape 10.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{22 \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.5.2

Divisez $\sqrt{22}$ par $1$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.7

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

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Étape 10.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.8

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.9

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 10.1.9.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$\sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.9.2

Factorisez $11$ à partir de $484$ .

$\sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.10

Annulez le facteur commun à $22$ et $44$ .

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Étape 10.1.10.1

Factorisez $22$ à partir de $22$ .

$\sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.10.2.1

Factorisez $22$ à partir de $44$ .

$\sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.11

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$\sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.13

Associez $\sqrt{22}$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.14

Annulez le facteur commun de $22$ .

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Étape 10.1.14.1

Factorisez $22$ à partir de $- 66$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 (- 3) \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 \cdot - 3 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 10.1.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 10.1.16

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

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Étape 10.1.16.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 10.1.16.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Étape 10.1.16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 10.1.16.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.16.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 10.1.16.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Étape 10.1.16.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Étape 10.1.17

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Étape 10.1.18

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 10.1.18.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}}$

Étape 10.1.18.2

Factorisez $11$ à partir de $484$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Étape 10.1.18.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Étape 10.1.18.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Étape 10.1.19

Annulez le facteur commun à $22$ et $44$ .

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Étape 10.1.19.1

Factorisez $22$ à partir de $22$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Étape 10.1.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.19.2.1

Factorisez $22$ à partir de $44$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 10.1.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 10.1.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.20

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.21

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.22

Multipliez $- 3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 10.1.22.1

Associez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $- 3$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{22}$

Étape 10.1.22.2

Associez $\frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{22}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.1.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{22} - 3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{22}$ de $\sqrt{22}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{22}}{22}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = (\frac{\sqrt{22}}{22}) \cdot e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 12.2.2

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

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Étape 12.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 12.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Étape 12.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 12.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 12.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Étape 12.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Étape 12.2.3

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Étape 12.2.4

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 12.2.4.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 (- 1) (\frac{22}{484})}$

Étape 12.2.4.2

Factorisez $11$ à partir de $484$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Étape 12.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Étape 12.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Étape 12.2.5

Annulez le facteur commun à $22$ et $44$ .

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Étape 12.2.5.1

Factorisez $22$ à partir de $22$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Étape 12.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.5.2.1

Factorisez $22$ à partir de $44$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 12.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 12.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2.6

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.8

Associez.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22} \cdot 1}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.9

Multipliez $\sqrt{22}$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2.10

La réponse finale est $\frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$484 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{3} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 14.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$484 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{3}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$484 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{22}}^{3}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$484 (- \frac{{\sqrt{22}}^{3}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{3}$ comme $\sqrt{22^{3}}$ .

$484 (- \frac{\sqrt{22^{3}}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.3.2

Élevez $22$ à la puissance $3$ .

$484 (- \frac{\sqrt{10648}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.3.3

Réécrivez $10648$ comme $22^{2} \cdot 22$ .

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Étape 14.1.3.3.1

Factorisez $484$ à partir de $10648$ .

$484 (- \frac{\sqrt{484 (22)}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.3.3.2

Réécrivez $484$ comme $22^{2}$ .

$484 (- \frac{\sqrt{22^{2} \cdot 22}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$484 (- \frac{22 \sqrt{22}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.4

Élevez $22$ à la puissance $3$ .

$484 (- \frac{22 \sqrt{22}}{10648}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.5

Annulez le facteur commun de $484$ .

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Étape 14.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{22 \sqrt{22}}{10648}$ dans le numérateur.

$484 \frac{- 22 \sqrt{22}}{10648} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.5.2

Factorisez $484$ à partir de $10648$ .

$484 \frac{- 22 \sqrt{22}}{484 (22)} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$484 \frac{- 22 \sqrt{22}}{484 \cdot 22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 22 \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.6

Annulez le facteur commun à $- 22$ et $22$ .

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Étape 14.1.6.1

Factorisez $22$ à partir de $- 22 \sqrt{22}$ .

$\frac{22 (- \sqrt{22})}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.6.2.1

Factorisez $22$ à partir de $22$ .

$\frac{22 (- \sqrt{22})}{22 (1)} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{22 (- \sqrt{22})}{22 \cdot 1} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{22}}{1} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.6.2.4

Divisez $- \sqrt{22}$ par $1$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 14.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 (1 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.9

Multipliez $\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}$ par $1$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.10

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

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Étape 14.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.11

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.12

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 14.1.12.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$- \sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.12.2

Factorisez $11$ à partir de $484$ .

$- \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.13

Annulez le facteur commun à $22$ et $44$ .

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Étape 14.1.13.1

Factorisez $22$ à partir de $22$ .

$- \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.13.2.1

Factorisez $22$ à partir de $44$ .

$- \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.14

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$- \sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.16

Associez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{22}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.17

Annulez le facteur commun de $22$ .

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Étape 14.1.17.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ dans le numérateur.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 \frac{- \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.17.2

Factorisez $22$ à partir de $- 66$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 (- 3) \frac{- \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.17.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 \cdot - 3 \frac{- \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.17.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \sqrt{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.18

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 14.1.19

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 14.1.19.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2})}$

Étape 14.1.19.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})}$

Étape 14.1.20

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 (1 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})}$

Étape 14.1.21

Multipliez $\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 14.1.22

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

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Étape 14.1.22.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 14.1.22.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Étape 14.1.22.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 14.1.22.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.22.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 14.1.22.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Étape 14.1.22.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Étape 14.1.23

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Étape 14.1.24

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 14.1.24.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}}$

Étape 14.1.24.2

Factorisez $11$ à partir de $484$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Étape 14.1.24.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Étape 14.1.24.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Étape 14.1.25

Annulez le facteur commun à $22$ et $44$ .

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Étape 14.1.25.1

Factorisez $22$ à partir de $22$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Étape 14.1.25.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.25.2.1

Factorisez $22$ à partir de $44$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 14.1.25.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 14.1.25.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 14.1.26

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 14.1.27

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.1.28

Multipliez $3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 14.1.28.1

Associez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $3$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{22}$

Étape 14.1.28.2

Associez $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{22}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Simplifiez les termes.

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Étape 14.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{22} + 3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2.2

Additionnez $- \sqrt{22}$ et $3 \sqrt{22}$ .

$\frac{2 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

$x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = (- \frac{\sqrt{22}}{22}) \cdot e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 16.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2})}$

Étape 16.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}))}$

Étape 16.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 16.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 (1 (\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}))}$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 16.2.3

Réécrivez ${\sqrt{22}}^{2}$ comme $22$ .

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Étape 16.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{22}$ comme $22^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Étape 16.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Étape 16.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 16.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Étape 16.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Étape 16.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Étape 16.2.4

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Étape 16.2.5

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 16.2.5.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 (- 1) (\frac{22}{484})}$

Étape 16.2.5.2

Factorisez $11$ à partir de $484$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Étape 16.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Étape 16.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Étape 16.2.6

Annulez le facteur commun à $22$ et $44$ .

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Étape 16.2.6.1

Factorisez $22$ à partir de $22$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Étape 16.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.6.2.1

Factorisez $22$ à partir de $44$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 16.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Étape 16.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 16.2.7

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 16.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2.9

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 22}$

Étape 16.2.10

Déplacez $22$ à gauche de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16.2.11

La réponse finale est $- \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{- 11 x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{22}}{22}, \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}})$ est un maximum local

$(- \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}})$ est un minimum local

Étape 18