Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Étape 1

Écrivez $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ comme une fonction.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13 \cos (h x)$ par rapport à $x$ est $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = h x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.2.3

Comme $h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $h x$ par rapport à $x$ est $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.2.5

Multipliez $h$ par $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 \sin (h x)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = h x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

Étape 2.3.3

Comme $h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $h x$ par rapport à $x$ est $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $h$ par $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $13 h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 h \sin (h x)$ par rapport à $x$ est $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = h x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.3

Comme $h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $h x$ par rapport à $x$ est $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.5

Multipliez $h$ par $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.6

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.7

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $12 h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 h \cos (h x)$ par rapport à $x$ est $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = h x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

Étape 3.3.3

Comme $h$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $h x$ par rapport à $x$ est $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $h$ par $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

Étape 3.3.7

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Étape 3.3.8

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Étape 3.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

Étape 3.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (h x)$ .

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ à $\tan (h x)$ .

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Étape 8

Divisez $13 h$ par $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $\cos (h x)$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Étape 9.2

Divisez $12 h$ par $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

Étape 10

Séparez les fractions.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Étape 11

Convertissez de $\frac{1}{\cos (h x)}$ à $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Étape 12

Divisez $0$ par $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

Étape 13

Multipliez $0$ par $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

Étape 14

Soustrayez $12 h$ des deux côtés de l’équation.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

Étape 15

Divisez chaque terme dans $13 h \tan (h x) = - 12 h$ par $13 h$ et simplifiez.

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Étape 15.1

Divisez chaque terme dans $13 h \tan (h x) = - 12 h$ par $13 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Étape 15.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.2.1

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Étape 15.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 15.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Étape 15.2.2.2

Divisez $\tan (h x)$ par $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Étape 15.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.3.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 15.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Étape 15.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

Étape 15.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

Étape 16

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

Étape 17

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.1

Évaluez $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

Étape 18

Divisez chaque terme dans $h x = - 0.74541947$ par $h$ et simplifiez.

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Étape 18.1

Divisez chaque terme dans $h x = - 0.74541947$ par $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Étape 18.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 18.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 18.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Étape 18.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

Étape 18.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 18.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

Étape 19

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

Étape 20

Ajoutez $2 π$ à $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 21

L’angle résultant de $2.39617317$ est positif et coterminal avec $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.39617317$

Étape 22

Divisez chaque terme dans $h x = 2.39617317$ par $h$ et simplifiez.

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Étape 22.1

Divisez chaque terme dans $h x = 2.39617317$ par $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Étape 22.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 22.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 22.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Étape 22.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

Étape 23

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2.39617317}{h}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Étape 24

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 24.1.1

Annulez le facteur commun.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Étape 24.1.2

Réécrivez l’expression.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Étape 24.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 24.2.1

Annulez le facteur commun.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

Étape 24.2.2

Réécrivez l’expression.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

Étape 25

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 26