Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 | x^{2} - 16 |$

Étape 1

Écrivez $y = 2 | x^{2} - 16 |$ comme une fonction.

$f (x) = 2 | x^{2} - 16 |$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 | x^{2} - 16 |$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [| x^{2} - 16 |]$ .

$2 \frac{d}{d x} [| x^{2} - 16 |]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$2 (\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ et $2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \cdot 2}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 16$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 2.3.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Étape 2.3.6

Associez les fractions.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Étape 2.3.6.2

Associez $2$ et $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} - 16))}{| x^{2} - 16 |} x$

Étape 2.3.6.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Étape 2.3.6.4

Associez $\frac{4 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ et $x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.4.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x^{3} - 64 x$ et $g (x) = | x^{2} - 16 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | \frac{d}{d x} (4 x^{3} - 64 x) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 64 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 64 x)) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64 \frac{d}{d x} x) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64 \cdot 1) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.4.3

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \cdot (2 x + 0))}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.4.4

Associez les fractions.

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Étape 3.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \cdot (2 x))}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) (\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \cdot x)}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.4.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) - (4 x^{3} - 64 x) \frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2} - 64) + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 16 | (12 x^{2}) + | x^{2} - 16 | \cdot - 64 + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} + | x^{2} - 16 | \cdot - 64 + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.3

Déplacez $- 64$ à gauche de $| x^{2} - 16 |$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 \cdot | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.1.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.4.1.4.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.5.4.1.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.3

Réécrivez $2 x^{3} - 32 x$ en forme factorisée.

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Étape 3.5.4.1.4.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 32 x$ .

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Étape 3.5.4.1.4.3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x^{2}) - 32 x}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.3.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 32 x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.3.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 4^{2})}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1.5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x^{2} - 4^{2} |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.3

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.1.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x (x - 4) + 4 (x - 4) |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.4

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Étape 3.5.4.1.5.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.4.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.4.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x \cdot x + 4 \cdot - 4 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1.5.5.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x^{2} + 4 \cdot - 4 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.5.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x^{2} - 16 |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.6

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| x^{2} - 4^{2} |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- (4 x^{3}) - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1.6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- 4 x^{3} - (- 64 x)) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.6.2

Multipliez $- 64$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + (- 4 x^{3} + 64 x) (\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |})}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.7

Multipliez $- 4 x^{3} + 64 x$ par $\frac{2 x (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{(- 4 x^{3} + 64 x) (2 x (x + 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.1.8.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 64 x$ .

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Étape 3.5.4.1.8.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{(4 x (- x^{2}) + 64 x) \cdot (2 x (x + 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $64 x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{(4 x (- x^{2}) + 4 x (16)) \cdot (2 x (x + 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- x^{2}) + 4 x (16)$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{4 x (- x^{2} + 16) \cdot (2 x (x + 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{4 x (- x^{2} + 4^{2}) \cdot (2 x (x + 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{4 x (4^{2} - x^{2}) \cdot (2 x (x + 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{4 x (4 + x) (4 - x) \cdot (2 x (x + 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5

Associez les exposants.

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Étape 3.5.4.1.8.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x (4 + x) (4 - x) x (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 (x \cdot x) (4 + x) (4 - x) (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 (x \cdot x) (4 + x) (4 - x) (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{1 + 1} (4 + x) (4 - x) (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} (4 + x) (4 - x) (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} (x + 4) (4 - x) (x + 4) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.7

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} ((x + 4) (x + 4)) (4 - x) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.8

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} ((x + 4) (x + 4)) (4 - x) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{1 + 1} (4 - x) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} (4 - x) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.11

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} (- 1 \cdot - 4 - x) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} (- 1 \cdot - 4 - (x)) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 4) - (x)$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} (- 1 (- 4 + x)) (x - 4)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.15

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4)))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.16

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4)))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1})}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.8.5.19

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | + \frac{- 8 x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} - 64 | x^{2} - 16 | - \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Pour écrire $12 | x^{2} - 16 | x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} | (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |} - \frac{8 x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{12 | x^{2} - 16 | x^{2} | (x + 4) (x - 4) | - 8 x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.4.1.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $12 | x^{2} - 16 | x^{2} | (x + 4) (x - 4) | - 8 x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

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Étape 3.5.4.4.1.1.1

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $12 | x^{2} - 16 | x^{2} | (x + 4) (x - 4) |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |) - 8 x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.1.2

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $- 8 x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |) + 4 x^{2} (- 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.1.3

Factorisez $4 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} (3 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |) + 4 x^{2} (- 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.4.1.3.1

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.4.1.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x (x - 4) + 4 (x - 4)) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Étape 3.5.4.4.1.3.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x \cdot x + 4 \cdot - 4) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.4.1.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x^{2} + 4 \cdot - 4) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.3.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | (x^{2} - 16) (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.4

Développez $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.4.1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16) | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.4.4.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.4.1.3.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.4.4.1.3.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.5.1.2

Déplacez $- 16$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.5.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256 | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.5.2

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.6

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 ((x + 4) (x + 4)) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.7

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.4.4.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.4.1.3.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.8.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.8.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.8.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x^{2} + 8 x + 16) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 2 (8 x) - 2 \cdot 16) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.10

Simplifiez

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Étape 3.5.4.4.1.3.10.1

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 2 \cdot 16) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.10.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) {(x - 4)}^{2})}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.11

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) ((x - 4) (x - 4)))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.12

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.4.1.3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x (x - 4) - 4 (x - 4)))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.4.4.1.3.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.4.1.3.13.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.13.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.13.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x^{2} - 4 x - 4 x + 16))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.13.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + (- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x^{2} - 8 x + 16))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.14

Développez $(- 2 x^{2} - 16 x - 32) (x^{2} - 8 x + 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 8 x) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.15.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.15.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} (- 8 x) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} (- 8 x) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 2 x^{2} (- 8 x) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 8 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.15.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 8 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.15.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.5.4.4.1.3.15.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 8 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 8 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.4

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 16 - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.5

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x \cdot x^{2} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.15.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 (x^{2} x) - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.15.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 3.5.4.4.1.3.15.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{2 + 1} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} - 16 x (- 8 x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} - 16 \cdot (- 8 x \cdot x) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.4.1.3.15.8.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} - 16 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} - 16 \cdot (- 8 x^{2}) - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.9

Multipliez $- 16$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} + 128 x^{2} - 16 x \cdot 16 - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.10

Multipliez $16$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} + 128 x^{2} - 256 x - 32 x^{2} - 32 (- 8 x) - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.11

Multipliez $- 8$ par $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} + 128 x^{2} - 256 x - 32 x^{2} + 256 x - 32 \cdot 16)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.15.12

Multipliez $- 32$ par $16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} + 128 x^{2} - 256 x - 32 x^{2} + 256 x - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.16

Associez les termes opposés dans $- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 32 x^{2} - 16 x^{3} + 128 x^{2} - 256 x - 32 x^{2} + 256 x - 512$ .

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Étape 3.5.4.4.1.3.16.1

Soustrayez $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 32 x^{2} + 0 + 128 x^{2} - 256 x - 32 x^{2} + 256 x - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.16.2

Additionnez $- 2 x^{4} - 32 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 32 x^{2} + 128 x^{2} - 256 x - 32 x^{2} + 256 x - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.16.3

Additionnez $- 256 x$ et $256 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 32 x^{2} + 128 x^{2} - 32 x^{2} + 0 - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.16.4

Additionnez $- 2 x^{4} - 32 x^{2} + 128 x^{2} - 32 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} - 32 x^{2} + 128 x^{2} - 32 x^{2} - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.17

Additionnez $- 32 x^{2}$ et $128 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 96 x^{2} - 32 x^{2} - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.3.18

Soustrayez $32 x^{2}$ de $96 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 2 x^{4} + 64 x^{2} - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 2 x^{4} + 64 x^{2} + 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 512)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5

Réécrivez $- 2 x^{4} + 64 x^{2} + 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 512$ en forme factorisée.

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Étape 3.5.4.4.1.5.1

Regroupez les termes.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 512 - 2 x^{4} + 64 x^{2} + 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{4} + 64 x^{2} + 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |$ .

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Étape 3.5.4.4.1.5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 512 - (2 x^{4}) + 64 x^{2} + 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $64 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 512 - (2 x^{4}) - (- 64 x^{2}) + 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 512 - (2 x^{4}) - (- 64 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{4}) - (- 64 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 512 - (2 x^{4} - 64 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{4} - 64 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 512 - (2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 512 - (2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

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Étape 3.5.4.4.1.5.3.1

Réécrivez $- 512$ comme $- 1 (512)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 1 \cdot 512 - (2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (512) - (2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- 1 (512 + 2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.3.3

Réécrivez $- 1 (512 + 2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ comme $- (512 + 2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- (512 + 2 x^{4} - 64 x^{2} - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} (- (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x^{2} \cdot (- 1 (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.6

Associez les exposants.

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Étape 3.5.4.4.1.6.1

Factorisez le signe négatif.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (4 x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.1.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 (x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{4 x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 |}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.5

Pour écrire $- 64 | x^{2} - 16 |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{4 x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |} - 64 | x^{2} - 16 | \cdot \frac{| (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.6

Associez $- 64 | x^{2} - 16 |$ et $\frac{| (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{4 x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |} + \frac{- 64 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 64 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 64 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |$ .

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Étape 3.5.4.8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)) - 64 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 64 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)) + 4 (- 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)) + 4 (- 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- x^{2} (2 x^{4} - 64 x^{2} + 512 - 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- x^{2} (2 x^{4}) - x^{2} (- 64 x^{2}) - x^{2} \cdot 512 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.3

Simplifiez

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Étape 3.5.4.8.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - x^{2} (- 64 x^{2}) - x^{2} \cdot 512 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 64 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 512 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.3.3

Multipliez $512$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 64 x^{2} x^{2}) - 512 x^{2} - x^{2} (- 3 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.3.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 64 x^{2} x^{2}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.8.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.4.8.4.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 \cdot (2 (x^{4} x^{2})) - 1 \cdot (- 64 x^{2} x^{2}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 \cdot (2 x^{4 + 2}) - 1 \cdot (- 64 x^{2} x^{2}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4.1.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 \cdot (2 x^{6}) - 1 \cdot (- 64 x^{2} x^{2}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 64 x^{2} x^{2}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.4.8.4.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 64 (x^{2} x^{2})) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 64 x^{2 + 2}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 64 x^{4}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | (x + 4) (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.5

Développez $(x + 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x (x - 4) + 4 (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.6

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Étape 3.5.4.8.6.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 4$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.6.2

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.6.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x \cdot x + 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.8.7.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x^{2} + 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.7.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} - 16 | | x^{2} - 16 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.8

Multipliez $- 16 | x^{2} - 16 | | x^{2} - 16 |$ .

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Étape 3.5.4.8.8.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | (x^{2} - 16) (x^{2} - 16) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.8.2

Élevez $x^{2} - 16$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | (x^{2} - 16) (x^{2} - 16) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.8.3

Élevez $x^{2} - 16$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | (x^{2} - 16) (x^{2} - 16) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | {(x^{2} - 16)}^{1 + 1} |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | {(x^{2} - 16)}^{2} |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.9

Réécrivez ${(x^{2} - 16)}^{2}$ comme $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | (x^{2} - 16) (x^{2} - 16) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.10

Développez $(x^{2} - 16) (x^{2} - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.8.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} (x^{2} - 16) - 16 (x^{2} - 16) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 (x^{2} - 16) |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.4.8.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.8.11.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.4.8.11.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.11.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} + x^{2} \cdot - 16 - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.11.1.2

Déplacez $- 16$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 16 \cdot x^{2} - 16 x^{2} - 16 \cdot - 16 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.11.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 16 x^{2} - 16 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.8.11.2

Soustrayez $16 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 2 x^{6} + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6}) + 64 x^{4} - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $64 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6}) - (- 64 x^{4}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6}) - (- 64 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6} - 64 x^{4}) - 512 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 512 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6} - 64 x^{4}) - (512 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6} - 64 x^{4}) - (512 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.14

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.15

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.16

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - (16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.17

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |) - (16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.18

Réécrivez $- (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ comme $- 1 (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (- 1 (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |))}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{4 (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez $\frac{- \frac{4 (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |} \cdot \frac{1}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $\frac{1}{{| x^{2} - 16 |}^{2}}$ par $\frac{4 (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{| (x + 4) (x - 4) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{6} - 64 x^{4} + 512 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 32 x^{2} + 256 | + 16 | x^{4} - 32 x^{2} + 256 |)}{{| x^{2} - 16 |}^{2} | (x + 4) (x - 4) |}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 | x^{2} - 16 |$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [| x^{2} - 16 |]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (| x^{2} - 16 |)$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Étape 5.1.2.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Associez $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \cdot 2}{| x^{2} - 16 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)$

Étape 5.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)$

Étape 5.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

Étape 5.1.3.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \cdot (2 x + 0)$

Étape 5.1.3.6

Associez les fractions.

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Étape 5.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \cdot (2 x)$

Étape 5.1.3.6.2

Associez $2$ et $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16))}{| x^{2} - 16 |} \cdot x$

Étape 5.1.3.6.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} \cdot x$

Étape 5.1.3.6.4

Associez $\frac{4 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} x + 4 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.1.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.4.3.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.1.4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.4.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.1.4.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.1.4.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot (- 16 x)}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.1.4.3.2

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x^{3} - 64 x = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 64 x$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 64 x = 0$

Étape 6.3.1.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 64 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 16) = 0$

Étape 6.3.1.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)$ .

$4 x (x^{2} - 16) = 0$

Étape 6.3.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 6.3.1.3

Factorisez.

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Étape 6.3.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$4 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 6.3.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 6.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 6.3.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6.3.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 6.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x^{2} - 16 | = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

Étape 7.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Étape 7.2.3

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 7.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 7.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 7.2.5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 7.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 7.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 7.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 7.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4 (2 {(0)}^{6} - 64 {(0)}^{4} + 512 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | {(0)}^{4} - 32 {(0)}^{2} + 256 | + 16 | {(0)}^{4} - 32 {(0)}^{2} + 256 |)}{{| {(0)}^{2} - 16 |}^{2} | ((0) + 4) ((0) - 4) |}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (2 \cdot 0 - 64 \cdot 0^{4} + 512 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{4 (0 - 64 \cdot 0^{4} + 512 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (0 - 64 \cdot 0 + 512 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 64$ par $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 512 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 512 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.6

Multipliez $512$ par $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.8

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.9.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 32 \cdot 0^{2} + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.9.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 32 \cdot 0 + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.9.3

Multipliez $- 32$ par $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 0 + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.11

Additionnez $0$ et $256$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 | 256 | + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.12

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $256$ est $256$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 \cdot 256 + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.13

Multipliez $0$ par $256$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 16 | 0^{4} - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.14.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 16 | 0 - 32 \cdot 0^{2} + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.14.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 16 | 0 - 32 \cdot 0 + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.14.3

Multipliez $- 32$ par $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 16 | 0 + 0 + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.15

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 16 | 0 + 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.16

Additionnez $0$ et $256$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 16 | 256 |)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.17

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $256$ est $256$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 16 \cdot 256)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.18

Multipliez $16$ par $256$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 0 + 4096)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.19

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 0 + 4096)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.20

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{4 (0 + 0 + 4096)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.21

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{4 (0 + 4096)}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.1.22

Additionnez $0$ et $4096$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{{| 0^{2} - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{{| 0 - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{{| - 16 |}^{2} | (0 + 4) (0 - 4) |}$

Étape 10.2.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{{| - 16 |}^{2} | 4 (0 - 4) |}$

Étape 10.2.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{{| - 16 |}^{2} | 4 \cdot - 4 |}$

Étape 10.2.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 16$ et $0$ est $16$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{16^{2} | 4 \cdot - 4 |}$

Étape 10.2.6

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{256 | 4 \cdot - 4 |}$

Étape 10.2.7

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{256 | - 16 |}$

Étape 10.2.8

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 16$ et $0$ est $16$ .

$- \frac{4 \cdot 4096}{256 \cdot 16}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $4$ par $4096$ .

$- \frac{16384}{256 \cdot 16}$

Étape 10.3.2

Multipliez $256$ par $16$ .

$- \frac{16384}{4096}$

Étape 10.3.3

Divisez $16384$ par $4096$ .

$- 1 \cdot 4$

Étape 10.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 | {(0)}^{2} - 16 |$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 2 | 0 - 16 |$

Étape 12.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f (0) = 2 | - 16 |$

Étape 12.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 16$ et $0$ est $16$ .

$f (0) = 2 \cdot 16$

Étape 12.2.4

Multipliez $2$ par $16$ .

$f (0) = 32$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $32$ .

$y = 32$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{{| {(- 4)}^{2} - 16 |}^{2} | ((- 4) + 4) ((- 4) - 4) |}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{{| 16 - 16 |}^{2} | ((- 4) + 4) ((- 4) - 4) |}$

Étape 14.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{{| 0 |}^{2} | ((- 4) + 4) ((- 4) - 4) |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{0^{2} | ((- 4) + 4) ((- 4) - 4) |}$

Étape 14.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{0 | ((- 4) + 4) ((- 4) - 4) |}$

Étape 14.5

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{0 | 0 ((- 4) - 4) |}$

Étape 14.6

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{0 | 0 \cdot - 8 |}$

Étape 14.7

Multipliez $0$ par $- 8$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{0 | 0 |}$

Étape 14.8

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{0 \cdot 0}$

Étape 14.9

Multipliez $0$ par $0$ .

$- \frac{4 (2 {(- 4)}^{6} - 64 {(- 4)}^{4} + 512 {(- 4)}^{2} - 3 {(- 4)}^{2} | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 | + 16 | {(- 4)}^{4} - 32 {(- 4)}^{2} + 256 |)}{0}$

Étape 14.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 6$ , de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = \frac{4 {(- 6)}^{3} - 64 \cdot - 6}{| {(- 6)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f' (- 6) = \frac{4 \cdot - 216 - 64 \cdot - 6}{| {(- 6)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 216$ .

$f' (- 6) = \frac{- 864 - 64 \cdot - 6}{| {(- 6)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.2.2.1.3

Multipliez $- 64$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 864 + 384}{| {(- 6)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.2.2.1.4

Additionnez $- 864$ et $384$ .

$f' (- 6) = \frac{- 480}{| {(- 6)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 480}{| 36 - 16 |}$

Étape 15.2.2.2.2

Soustrayez $16$ de $36$ .

$f' (- 6) = \frac{- 480}{| 20 |}$

Étape 15.2.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $20$ est $20$ .

$f' (- 6) = \frac{- 480}{20}$

Étape 15.2.2.3

Divisez $- 480$ par $20$ .

$f' (- 6) = - 24$

Étape 15.2.2.4

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3} - 64 \cdot - 2}{| {(- 2)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8 - 64 \cdot - 2}{| {(- 2)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 - 64 \cdot - 2}{| {(- 2)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.3.2.1.3

Multipliez $- 64$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32 + 128}{| {(- 2)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.3.2.1.4

Additionnez $- 32$ et $128$ .

$f' (- 2) = \frac{96}{| {(- 2)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.3.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{96}{| 4 - 16 |}$

Étape 15.3.2.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{96}{| - 12 |}$

Étape 15.3.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 12$ et $0$ est $12$ .

$f' (- 2) = \frac{96}{12}$

Étape 15.3.2.3

Divisez $96$ par $12$ .

$f' (- 2) = 8$

Étape 15.3.2.4

La réponse finale est $8$ .

$8$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3} - 64 \cdot 2}{| {(2)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 8 - 64 \cdot 2}{| 2^{2} - 16 |}$

Étape 15.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = \frac{32 - 64 \cdot 2}{| 2^{2} - 16 |}$

Étape 15.4.2.1.3

Multipliez $- 64$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{32 - 128}{| 2^{2} - 16 |}$

Étape 15.4.2.1.4

Soustrayez $128$ de $32$ .

$f' (2) = \frac{- 96}{| 2^{2} - 16 |}$

Étape 15.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.4.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{- 96}{| 4 - 16 |}$

Étape 15.4.2.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{- 96}{| - 12 |}$

Étape 15.4.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 12$ et $0$ est $12$ .

$f' (2) = \frac{- 96}{12}$

Étape 15.4.2.3

Divisez $- 96$ par $12$ .

$f' (2) = - 8$

Étape 15.4.2.4

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 15.5

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{4 x^{3} - 64 x}{| x^{2} - 16 |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = \frac{4 {(6)}^{3} - 64 \cdot 6}{| {(6)}^{2} - 16 |}$

Étape 15.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 216 - 64 \cdot 6}{| 6^{2} - 16 |}$

Étape 15.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $216$ .

$f' (6) = \frac{864 - 64 \cdot 6}{| 6^{2} - 16 |}$

Étape 15.5.2.1.3

Multipliez $- 64$ par $6$ .

$f' (6) = \frac{864 - 384}{| 6^{2} - 16 |}$

Étape 15.5.2.1.4

Soustrayez $384$ de $864$ .

$f' (6) = \frac{480}{| 6^{2} - 16 |}$

Étape 15.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = \frac{480}{| 36 - 16 |}$

Étape 15.5.2.2.2

Soustrayez $16$ de $36$ .

$f' (6) = \frac{480}{| 20 |}$

Étape 15.5.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $20$ est $20$ .

$f' (6) = \frac{480}{20}$

Étape 15.5.2.3

Divisez $480$ par $20$ .

$f' (6) = 24$

Étape 15.5.2.4

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 15.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 4$ , $x = - 4$ est un minimum local.

$x = - 4$ est un minimum local

Étape 15.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 15.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 4$ , $x = 4$ est un minimum local.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 15.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 | x^{2} - 16 |$ .

$x = - 4$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 4$ est un minimum local

$x = - 4$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 4$ est un minimum local

Étape 16