Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Étape 1

Écrivez $y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ comme une fonction.

$f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ et $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Étape 2.3.2

Multipliez $700 - \frac{4 x}{3}$ par $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $700 - \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Étape 2.3.4

Comme $700$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $700$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Étape 2.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Étape 2.3.6

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.7

Associez les fractions.

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Étape 2.3.7.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.7.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Étape 2.3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Étape 2.3.9.3

Associez $- 2$ et $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Étape 2.3.9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.9.4.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Étape 2.3.9.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Étape 2.4.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Étape 2.4.2.4

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Étape 2.4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{16 x}{3} + 1400$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [1400]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (1400)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- \frac{16}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{16 x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1400)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1400)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (1400)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $1400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1400$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $- \frac{16}{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Étape 5.1.2

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $700 - \frac{4 x}{3}$ par $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Étape 5.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $700 - \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Étape 5.1.3.4

Comme $700$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $700$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Étape 5.1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Étape 5.1.3.6

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.1.3.7

Associez les fractions.

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Étape 5.1.3.7.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3.7.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Étape 5.1.3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Étape 5.1.3.9.2

Soustrayez $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Étape 5.1.3.9.3

Associez $- 2$ et $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Étape 5.1.3.9.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.9.4.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Étape 5.1.3.9.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Étape 5.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1

Multipliez $2$ par $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Étape 5.1.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Étape 5.1.4.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Étape 5.1.4.2.4

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Étape 5.1.4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Étape 5.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 1400$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{16 x}{3} + 1400$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1400$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{16 x}{3} = - 1400$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

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Étape 6.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{16}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16 x}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 6.4.1.1.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.3

Multipliez.

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Étape 6.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez $- \frac{3}{16} \cdot - 1400$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{16}$ dans le numérateur.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 1400$

Étape 6.4.2.1.1.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 1400$

Étape 6.4.2.1.1.3

Factorisez $8$ à partir de $- 1400$ .

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Étape 6.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Étape 6.4.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 175$

Étape 6.4.2.1.2

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $- 175$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 175}{2}$

Étape 6.4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 175$ .

$x = \frac{525}{2}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{525}{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{525}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{16}{3}$

Étape 10

$x = \frac{525}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{525}{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{525}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{525}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Étape 11.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{4 \cdot 525}{2}}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $4$ par $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2100}{2}}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun à $2100$ et $2$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2100$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2}}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 (1)}}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 \cdot 1}}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{1050}{1}}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.1.2.4

Divisez $1050$ par $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{1050}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun à $1050$ et $3$ .

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Étape 11.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $1050$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 (1)}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 \cdot 1}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{350}{1}) \cdot 525$

Étape 11.2.2.2.2.4

Divisez $350$ par $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 1 \cdot 350) \cdot 525$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $350$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 350) \cdot 525$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Soustrayez $350$ de $700$ .

$f (\frac{525}{2}) = 350 \cdot 525$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $350$ par $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = 183750$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $183750$ .

$y = 183750$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ .

$(\frac{525}{2}, 183750)$ est un maximum local

Étape 13