Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Étape 1

Écrivez $y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ comme une fonction.

$f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \csc (x)]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \csc (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\csc (x) \cot (x))$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \cot (x) \csc (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cot (x) \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 3.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 3.4

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 3.5

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 3.8

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 3.9

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Étape 3.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Étape 3.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Étape 3.12.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Étape 3.12.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) \cot^{2} (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Étape 3.12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 2 \cot^{2} (x) \csc (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Étape 6

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 6.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 7

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ .

$\csc (x) = 0$

Étape 7.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.6

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

Étape 10.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 10.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 11

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Étape 12.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

Étape 12.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$2 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$2 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.7

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.8

Multipliez $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 \cdot - 1 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.8.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.9

$0 + 2 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Étape 14.1.10

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 14.1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

Étape 14.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Étape 14.1.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2$

Étape 14.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 15

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{3 π}{2})})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})})$

Étape 16.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1 \cdot 1})$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1})$

Étape 16.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.2.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{2}, - 2)$ est un maximum local

Étape 18