Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{\frac{x}{2}}$

Étape 1

Écrivez $y = x e^{\frac{x}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $e^{\frac{x}{2}}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 2.3.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{\frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2})) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.8

Associez $e^{\frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.9

Associez $x$ et $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.2.10

Multipliez $e^{\frac{x}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 3.3.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2})$

Étape 3.3.5

Associez $e^{\frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}) + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{x}{2}} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.4.2.4

Additionnez $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ et $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + 2 (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2})$

Étape 3.4.2.5

Associez $2$ et $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.4.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.4.2.6.2

Divisez $e^{\frac{x}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{4} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 5.1.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2.2

Associez $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.4

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Étape 5.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.6.1

Multipliez $e^{\frac{x}{2}}$ par $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 5.1.3.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $e^{\frac{x}{2}}$ à partir de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $e^{\frac{x}{2}}$ à partir de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $e^{\frac{x}{2}}$ à partir de $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $e^{\frac{x}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $e^{\frac{x}{2}}$ égal à $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $e^{\frac{x}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Étape 6.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 6.5

Définissez $\frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $\frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $\frac{x}{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{2} = - 1$

Étape 6.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 6.5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot - 1$

Étape 6.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = - 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = - 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(- 2) e^{\frac{- 2}{2}}}{4} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Placez $e^{\frac{- 2}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{- 2}{2}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{4 e^{- \frac{- 1}{1}}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2}{4 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 10.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{- - 1}$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 e^{- - 1})} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 e^{- - 1})} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 e^{- - 1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 e^{1}} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.4.2

Simplifiez

$\frac{- 1}{2 e} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 e} + e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 10.1.6

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- \frac{1}{2 e} + e^{- 1}$

Étape 10.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{e}$

Étape 10.2

Pour écrire $\frac{1}{e}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 e$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{2}{e \cdot 2}$

Étape 10.3.2

Réorganisez les facteurs de $e \cdot 2$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{2}{2 e}$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{2 e}$

Étape 10.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{2 e}$

Étape 11

$x = - 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot e^{- 1}$

Étape 12.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 12.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e}$

Étape 12.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{2}{e}$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $- \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$(- 2, - \frac{2}{e})$ est un minimum local

Étape 14