Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

Étape 1

Écrivez $y = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x - 24 \frac{d}{d x} x$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x - 24 \cdot 1$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x - 24$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + 0$

Étape 5.1.5.2

Additionnez $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $3 x$ à partir de $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$3 x (4 x^{2}) - 9 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$3 x (4 x^{2}) + 3 x (- 3 x) - 24 x = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $- 24 x$ .

$3 x (4 x^{2}) + 3 x (- 3 x) + 3 x (- 8) = 0$

Étape 6.2.4

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (4 x^{2}) + 3 x (- 3 x)$ .

$3 x (4 x^{2} - 3 x) + 3 x (- 8) = 0$

Étape 6.2.5

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (4 x^{2} - 3 x) + 3 x (- 8)$ .

$3 x (4 x^{2} - 3 x - 8) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 3 x - 8 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $4 x^{2} - 3 x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $4 x^{2} - 3 x - 8$ égal à $0$ .

$4 x^{2} - 3 x - 8 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $4 x^{2} - 3 x - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 3$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 8)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez

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Étape 6.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ .

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Étape 6.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $128$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{8}$

Étape 6.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ .

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Étape 6.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $128$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{8}$

Étape 6.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$

Étape 6.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ .

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Étape 6.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $128$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{8}$

Étape 6.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Étape 6.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}, \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (4 x^{2} - 3 x - 8) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{137}}{8}, \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{137}}{8}, \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 24$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$36 \cdot 0 - 18 \cdot 0 - 24$

Étape 10.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$0 - 18 \cdot 0 - 24$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$0 + 0 - 24$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 24$

Étape 10.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$- 24$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 3 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Étape 12.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

Étape 12.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0 + 5$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 5$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 5$

Étape 12.2.2.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$f (0) = 5$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ .

$36 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$36 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$4 (9) \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 \cdot 9 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 9 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$9 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.4

Associez $9$ et $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$\frac{9 {(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.5

Réécrivez ${(3 + \sqrt{137})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ .

$\frac{9 ((3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.6

Développez $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (3 (3 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 14.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.7.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{137}$ .

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7.1.4

Multipliez $137$ par $137$ .

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{18769})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7.1.5

Réécrivez $18769$ comme $137^{2}$ .

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + 137)}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7.2

Additionnez $9$ et $137$ .

$\frac{9 (146 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.7.3

Additionnez $3 \sqrt{137}$ et $3 \sqrt{137}$ .

$\frac{9 (146 + 6 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.8

Annulez le facteur commun à $146 + 6 \sqrt{137}$ et $16$ .

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Étape 14.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $9 (146 + 6 \sqrt{137})$ .

$\frac{2 (9 (73 + 3 \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (9 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (9 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 (- 9) \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 14.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 + \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 14.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 + \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 14.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - 9 \frac{3 + \sqrt{137}}{4} - 24$

Étape 14.1.10

Associez $- 9$ et $\frac{3 + \sqrt{137}}{4}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{- 9 (3 + \sqrt{137})}{4} - 24$

Étape 14.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4} - 24$

Étape 14.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 14.2.1

Multipliez $\frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - (\frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 24$

Étape 14.2.2

Multipliez $\frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

Étape 14.2.3

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

Étape 14.2.4

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 14.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137}) - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 \cdot 73 + 9 (3 \sqrt{137}) - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.2

Multipliez $9$ par $73$ .

$\frac{657 + 9 (3 \sqrt{137}) - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} + (- 9 \cdot 3 - 9 \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.5

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} + (- 27 - 9 \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 27 \cdot 2 - 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.7

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 54 - 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.8

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 54 - 18 \sqrt{137} - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 14.4.9

Multipliez $- 24$ par $8$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 54 - 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Étape 14.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 14.5.1

Soustrayez $54$ de $657$ .

$\frac{603 + 27 \sqrt{137} - 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Étape 14.5.2

Soustrayez $192$ de $603$ .

$\frac{411 + 27 \sqrt{137} - 18 \sqrt{137}}{8}$

Étape 14.5.3

Soustrayez $18 \sqrt{137}$ de $27 \sqrt{137}$ .

$\frac{411 + 9 \sqrt{137}}{8}$

Étape 15

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (27 \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (9 {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 {\sqrt{137}}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{2}$ comme $137$ .

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Étape 16.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 16.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137 + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

Étape 16.2.1.4.7

Multipliez $54$ par $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 {\sqrt{137}}^{3} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.9

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{3}$ comme $\sqrt{137^{3}}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{137^{3}} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.10

Élevez $137$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{2571353} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.11

Réécrivez $2571353$ comme $137^{2} \cdot 137$ .

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Étape 16.2.1.4.11.1

Factorisez $18769$ à partir de $2571353$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{18769 (137)} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.11.2

Réécrivez $18769$ comme $137^{2}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{137^{2} \cdot 137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (137 \sqrt{137}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.13

Multipliez $137$ par $12$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{4}$ comme $137^{2}$ .

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Étape 16.2.1.4.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{4}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 16.2.1.4.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.4.14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.14.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{2}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.4.15

Élevez $137$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.5

Additionnez $81$ et $7398$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{7479 + 108 \sqrt{137} + 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.6

Additionnez $7479$ et $18769$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 + 108 \sqrt{137} + 1644 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.7

Additionnez $108 \sqrt{137}$ et $1644 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 + 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.8

Annulez le facteur commun à $26248 + 1752 \sqrt{137}$ et $4096$ .

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Étape 16.2.1.8.1

Factorisez $8$ à partir de $26248$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) + 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.8.2

Factorisez $8$ à partir de $1752 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) + 8 (219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.8.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (3281) + 8 (219 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.8.4.1

Factorisez $8$ à partir de $4096$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.9

Associez $3$ et $\frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.11

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.12

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.13.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.1.13.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 16.2.1.13.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

Étape 16.2.1.13.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{1 + 2} \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{3} \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 {\sqrt{137}}^{2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.5

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{2}$ comme $137$ .

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Étape 16.2.1.13.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.13.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.6

Multipliez $9$ par $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.7

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{3}$ comme $\sqrt{137^{3}}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{137^{3}}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.8

Élevez $137$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{2571353}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.9

Réécrivez $2571353$ comme $137^{2} \cdot 137$ .

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Étape 16.2.1.13.9.1

Factorisez $18769$ à partir de $2571353$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{18769 (137)}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.9.2

Réécrivez $18769$ comme $137^{2}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{137^{2} \cdot 137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.13.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.14

Additionnez $27$ et $1233$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 + 27 \sqrt{137} + 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.15

Additionnez $27 \sqrt{137}$ et $137 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 + 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.16

Annulez le facteur commun à $1260 + 164 \sqrt{137}$ et $512$ .

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Étape 16.2.1.16.1

Factorisez $4$ à partir de $1260$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) + 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.16.2

Factorisez $4$ à partir de $164 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) + 4 (41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.16.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (315) + 4 (41 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.16.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.16.4.1

Factorisez $4$ à partir de $512$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.16.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.16.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.17

Associez $- 3$ et $\frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} + \frac{- 3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{(3) (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 16.2.1.19

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 5$

Étape 16.2.1.20

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} + 5$

Étape 16.2.1.21

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 16.2.1.21.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64}) + 5$

Étape 16.2.1.21.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Étape 16.2.1.21.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Étape 16.2.1.21.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Étape 16.2.1.22

Associez $- 3$ et $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 {(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Étape 16.2.1.23

Réécrivez ${(3 + \sqrt{137})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 ((3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 16.2.1.24

Développez $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 16.2.1.24.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 (3 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 16.2.1.24.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 16.2.1.24.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 16.2.1.25.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.25.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25.1.4

Multipliez $137$ par $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{18769})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25.1.5

Réécrivez $18769$ comme $137^{2}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25.2

Additionnez $9$ et $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.25.3

Additionnez $3 \sqrt{137}$ et $3 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 + 6 \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 16.2.1.26

Annulez le facteur commun à $146 + 6 \sqrt{137}$ et $16$ .

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Étape 16.2.1.26.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3 (146 + 6 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 16.2.1.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} + 5$

Étape 16.2.1.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} + 5$

Étape 16.2.1.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 16.2.1.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 16.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 16.2.2.1

Multipliez $\frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - (\frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $\frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 16.2.2.3

Multipliez $\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} \cdot \frac{64}{64}) + 5$

Étape 16.2.2.4

Multipliez $\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + 5$

Étape 16.2.2.5

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1}$

Étape 16.2.2.6

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1} \cdot \frac{512}{512}$

Étape 16.2.2.7

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

Étape 16.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.2.9

Multipliez $4$ par $128$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.2.10

Multipliez $8$ par $64$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{512} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137}) - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 \cdot 3281 + 3 (219 \sqrt{137}) - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.2

Multipliez $3$ par $3281$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 3 (219 \sqrt{137}) - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.3

Multipliez $219$ par $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 315 - 3 (41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.5

Multipliez $- 3$ par $315$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} + (- 945 - 3 (41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.6

Multipliez $41$ par $- 3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} + (- 945 - 123 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 945 \cdot 4 - 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.8

Multipliez $- 945$ par $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.9

Multipliez $4$ par $- 123$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 73 - 3 (3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.11

Multipliez $- 3$ par $73$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} + (- 219 - 3 (3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.12

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} + (- 219 - 9 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 219 \cdot 64 - 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.14

Multipliez $- 219$ par $64$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 14016 - 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.15

Multipliez $64$ par $- 9$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 14016 - 576 \sqrt{137} + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 16.2.4.16

Multipliez $5$ par $512$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 14016 - 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Étape 16.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 16.2.5.1

Soustrayez $3780$ de $9843$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{6063 + 657 \sqrt{137} - 492 \sqrt{137} - 14016 - 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Étape 16.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.5.2.1

Soustrayez $14016$ de $6063$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 7953 + 657 \sqrt{137} - 492 \sqrt{137} - 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Étape 16.2.5.2.2

Additionnez $- 7953$ et $2560$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 + 657 \sqrt{137} - 492 \sqrt{137} - 576 \sqrt{137}}{512}$

Étape 16.2.5.3

Soustrayez $492 \sqrt{137}$ de $657 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 + 165 \sqrt{137} - 576 \sqrt{137}}{512}$

Étape 16.2.5.4

Soustrayez $576 \sqrt{137}$ de $165 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 16.2.5.5

Réécrivez $- 5393$ comme $- 1 (5393)$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 16.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 411 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 - (411 \sqrt{137})}{512}$

Étape 16.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5393) - (411 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 (5393 + 411 \sqrt{137})}{512}$

Étape 16.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = - \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 16.2.6

La réponse finale est $- \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$ .

$y = - \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ .

$36 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$36 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 18.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$4 (9) \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 \cdot 9 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 9 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$9 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.4

Associez $9$ et $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$\frac{9 {(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.5

Réécrivez ${(3 - \sqrt{137})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ .

$\frac{9 ((3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.6

Développez $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 18.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (3 (3 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 18.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.7.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 (9 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.4

Multipliez $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ .

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Étape 18.1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.4.2

Multipliez $\sqrt{137}$ par $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.4.3

Élevez $\sqrt{137}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.4.4

Élevez $\sqrt{137}$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} {\sqrt{137}}^{1})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{2}$ comme $137$ .

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Étape 18.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{1})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137)}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.2

Additionnez $9$ et $137$ .

$\frac{9 (146 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.7.3

Soustrayez $3 \sqrt{137}$ de $- 3 \sqrt{137}$ .

$\frac{9 (146 - 6 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.8

Annulez le facteur commun à $146 - 6 \sqrt{137}$ et $16$ .

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Étape 18.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $9 (146 - 6 \sqrt{137})$ .

$\frac{2 (9 (73 - 3 \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (9 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (9 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 (- 9) \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Étape 18.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 - \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 18.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 - \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 18.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - 9 \frac{3 - \sqrt{137}}{4} - 24$

Étape 18.1.10

Associez $- 9$ et $\frac{3 - \sqrt{137}}{4}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{- 9 (3 - \sqrt{137})}{4} - 24$

Étape 18.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4} - 24$

Étape 18.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 18.2.1

Multipliez $\frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - (\frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 24$

Étape 18.2.2

Multipliez $\frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

Étape 18.2.3

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

Étape 18.2.4

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 18.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137}) - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 \cdot 73 + 9 (- 3 \sqrt{137}) - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.2

Multipliez $9$ par $73$ .

$\frac{657 + 9 (- 3 \sqrt{137}) - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.3

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} + (- 9 \cdot 3 - 9 (- \sqrt{137})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.5

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} + (- 27 - 9 (- \sqrt{137})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} + (- 27 + 9 \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 27 \cdot 2 + 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.8

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 54 + 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.9

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 54 + 18 \sqrt{137} - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 18.4.10

Multipliez $- 24$ par $8$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 54 + 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Étape 18.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 18.5.1

Soustrayez $54$ de $657$ .

$\frac{603 - 27 \sqrt{137} + 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Étape 18.5.2

Soustrayez $192$ de $603$ .

$\frac{411 - 27 \sqrt{137} + 18 \sqrt{137}}{8}$

Étape 18.5.3

Additionnez $- 27 \sqrt{137}$ et $18 \sqrt{137}$ .

$\frac{411 - 9 \sqrt{137}}{8}$

Étape 19

$x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (27 (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 (- \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (9 {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.6

Multipliez $6$ par $9$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {(- \sqrt{137})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 (1 {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.9

Multipliez ${\sqrt{137}}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {\sqrt{137}}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.10

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{2}$ comme $137$ .

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Étape 20.2.1.4.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.4.10.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 20.2.1.4.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.10.5

Évaluez l’exposant.

Étape 20.2.1.4.11

Multipliez $54$ par $137$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 {(- \sqrt{137})}^{3} + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{137}}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- {\sqrt{137}}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.15

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{3}$ comme $\sqrt{137^{3}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{137^{3}}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.16

Élevez $137$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{2571353}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.17

Réécrivez $2571353$ comme $137^{2} \cdot 137$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.4.17.1

Factorisez $18769$ à partir de $2571353$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{18769 (137)}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.17.2

Réécrivez $18769$ comme $137^{2}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{137^{2} \cdot 137}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- (137 \sqrt{137})) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.19

Multipliez $137$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- 137 \sqrt{137}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.20

Multipliez $- 137$ par $12$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.21

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 1 {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.23

Multipliez ${\sqrt{137}}^{4}$ par $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{4}$ comme $137^{2}$ .

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Étape 20.2.1.4.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{4}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 20.2.1.4.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.2.1.4.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{2}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.4.25

Élevez $137$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.5

Additionnez $81$ et $7398$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{7479 - 108 \sqrt{137} - 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.6

Additionnez $7479$ et $18769$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 - 108 \sqrt{137} - 1644 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.7

Soustrayez $1644 \sqrt{137}$ de $- 108 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 - 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.8

Annulez le facteur commun à $26248 - 1752 \sqrt{137}$ et $4096$ .

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Étape 20.2.1.8.1

Factorisez $8$ à partir de $26248$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) - 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.8.2

Factorisez $8$ à partir de $- 1752 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) + 8 (- 219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.8.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (3281) + 8 (- 219 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.2.1.8.4.1

Factorisez $8$ à partir de $4096$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.9

Associez $3$ et $\frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.11

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.12

Utilisez le théorème du binôme.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{137})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.13.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{137})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.2.1.13.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 20.2.1.13.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

Étape 20.2.1.13.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{3} (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {(- \sqrt{137})}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 (1 {\sqrt{137}}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.8

Multipliez ${\sqrt{137}}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {\sqrt{137}}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.9

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{2}$ comme $137$ .

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Étape 20.2.1.13.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.13.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.10

Multipliez $9$ par $137$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.13

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{3}$ comme $\sqrt{137^{3}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{137^{3}}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.14

Élevez $137$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{2571353}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.15

Réécrivez $2571353$ comme $137^{2} \cdot 137$ .

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Étape 20.2.1.13.15.1

Factorisez $18769$ à partir de $2571353$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{18769 (137)}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.15.2

Réécrivez $18769$ comme $137^{2}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{137^{2} \cdot 137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - (137 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.13.17

Multipliez $137$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.14

Additionnez $27$ et $1233$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 - 27 \sqrt{137} - 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.15

Soustrayez $137 \sqrt{137}$ de $- 27 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 - 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.16

Annulez le facteur commun à $1260 - 164 \sqrt{137}$ et $512$ .

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Étape 20.2.1.16.1

Factorisez $4$ à partir de $1260$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) - 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.16.2

Factorisez $4$ à partir de $- 164 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) + 4 (- 41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.16.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (315) + 4 (- 41 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.16.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.2.1.16.4.1

Factorisez $4$ à partir de $512$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.16.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.16.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.17

Associez $- 3$ et $\frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} + \frac{- 3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{(3) (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Étape 20.2.1.19

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 5$

Étape 20.2.1.20

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} + 5$

Étape 20.2.1.21

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 20.2.1.21.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64}) + 5$

Étape 20.2.1.21.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Étape 20.2.1.21.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Étape 20.2.1.21.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Étape 20.2.1.22

Associez $- 3$ et $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 {(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Étape 20.2.1.23

Réécrivez ${(3 - \sqrt{137})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 ((3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.24

Développez $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 20.2.1.24.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 (3 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.24.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.24.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 20.2.1.25.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.25.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.4

Multipliez $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ .

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Étape 20.2.1.25.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.4.2

Multipliez $\sqrt{137}$ par $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.4.3

Élevez $\sqrt{137}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.4.4

Élevez $\sqrt{137}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.5

Réécrivez ${\sqrt{137}}^{2}$ comme $137$ .

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Étape 20.2.1.25.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{137}$ comme $137^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.25.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.2

Additionnez $9$ et $137$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.25.3

Soustrayez $3 \sqrt{137}$ de $- 3 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 - 6 \sqrt{137})}{16} + 5$

Étape 20.2.1.26

Annulez le facteur commun à $146 - 6 \sqrt{137}$ et $16$ .

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Étape 20.2.1.26.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3 (146 - 6 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{16} + 5$

Étape 20.2.1.26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.2.1.26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} + 5$

Étape 20.2.1.26.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} + 5$

Étape 20.2.1.26.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 20.2.1.27

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 20.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 20.2.2.1

Multipliez $\frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - (\frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 20.2.2.2

Multipliez $\frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Étape 20.2.2.3

Multipliez $\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} \cdot \frac{64}{64}) + 5$

Étape 20.2.2.4

Multipliez $\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + 5$

Étape 20.2.2.5

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1}$

Étape 20.2.2.6

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1} \cdot \frac{512}{512}$

Étape 20.2.2.7

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{512}{512}$ .

Étape 20.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.2.9

Multipliez $4$ par $128$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.2.10

Multipliez $8$ par $64$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{512} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137}) - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 \cdot 3281 + 3 (- 219 \sqrt{137}) - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.2

Multipliez $3$ par $3281$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 3 (- 219 \sqrt{137}) - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.3

Multipliez $- 219$ par $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 315 - 3 (- 41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.5

Multipliez $- 3$ par $315$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} + (- 945 - 3 (- 41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.6

Multipliez $- 41$ par $- 3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} + (- 945 + 123 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 945 \cdot 4 + 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.8

Multipliez $- 945$ par $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.9

Multipliez $4$ par $123$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 73 - 3 (- 3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.11

Multipliez $- 3$ par $73$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} + (- 219 - 3 (- 3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.12

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} + (- 219 + 9 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 219 \cdot 64 + 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.14

Multipliez $- 219$ par $64$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 14016 + 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.15

Multipliez $64$ par $9$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 14016 + 576 \sqrt{137} + 5 \cdot 512}{512}$

Étape 20.2.4.16

Multipliez $5$ par $512$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 14016 + 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Étape 20.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 20.2.5.1

Soustrayez $3780$ de $9843$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{6063 - 657 \sqrt{137} + 492 \sqrt{137} - 14016 + 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Étape 20.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 20.2.5.2.1

Soustrayez $14016$ de $6063$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 7953 - 657 \sqrt{137} + 492 \sqrt{137} + 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Étape 20.2.5.2.2

Additionnez $- 7953$ et $2560$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 - 657 \sqrt{137} + 492 \sqrt{137} + 576 \sqrt{137}}{512}$

Étape 20.2.5.3

Additionnez $- 657 \sqrt{137}$ et $492 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 - 165 \sqrt{137} + 576 \sqrt{137}}{512}$

Étape 20.2.5.4

Additionnez $- 165 \sqrt{137}$ et $576 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 20.2.5.5

Réécrivez $- 5393$ comme $- 1 (5393)$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 20.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $411 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 - (- 411 \sqrt{137})}{512}$

Étape 20.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5393) - (- 411 \sqrt{137})$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 (5393 - 411 \sqrt{137})}{512}$

Étape 20.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = - \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 20.2.6

La réponse finale est $- \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$ .

$y = - \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ .

$(0, 5)$ est un maximum local

$(\frac{3 + \sqrt{137}}{8}, - \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512})$ est un minimum local

$(\frac{3 - \sqrt{137}}{8}, - \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512})$ est un minimum local

Étape 22