Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Étape 1

Écrivez $y = 5 (1 - e^{- 2 x})$ comme une fonction.

$f (x) = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 (1 - e^{- 2 x})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2.1.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$5 (- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])$

Étape 2.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$- 5 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$10 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 e^{- 2 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 10 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \cdot 1$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 e^{- 2 x} = 0$

Étape 5

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 6

Aucun extremum local

Étape 7