Calcul infinitésimal Exemples

Comme ${\displaystyle 4}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 4x}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle 4}$ par ${\displaystyle 1}$.

Comme ${\displaystyle -9}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -9x^{\frac{4}{9}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -9\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{4}{9}}\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{4}{9}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{9}{9}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{9}{9}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{5}{9}}}$.

Associez ${\displaystyle -9}$ et ${\displaystyle \frac{4x^{-\frac{5}{9}}}{9}}$.

Multipliez ${\displaystyle 4}$ par ${\displaystyle -9}$.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{5}{9}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Factorisez ${\displaystyle 9}$ à partir de ${\displaystyle -36}$.

Annulez les facteurs communs.

Placez le signe moins devant la fraction.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle 4-\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}]}$.

Comme ${\displaystyle 4}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 4}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Comme ${\displaystyle -4}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -4\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{5}{9}}}\right]}$.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{5}{9}}}}$ comme ${\displaystyle {\left(x^{\frac{5}{9}}\right)}^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{5}{9}}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{5}{9}}$.

Multipliez les exposants dans ${\displaystyle {\left(x^{\frac{5}{9}}\right)}^{-2}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{9}{9}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{9}{9}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{4}{9}}}$.

Associez ${\displaystyle \frac{5x^{-\frac{4}{9}}}{9}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{10}{9}}}$.

Multipliez ${\displaystyle x^{-\frac{4}{9}}}$ par ${\displaystyle x^{-\frac{10}{9}}}$ en additionnant les exposants.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{14}{9}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle -4}$.

Associez ${\displaystyle 4}$ et ${\displaystyle \frac{5}{9x^{\frac{14}{9}}}}$.

Multipliez ${\displaystyle 4}$ par ${\displaystyle 5}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle 4x-9x^{\frac{4}{9}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x\right]+\frac{d}{dx}[-9x^{\frac{4}{9}}]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[4x\right]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-9x^{\frac{4}{9}}]}$.

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle -\frac{4}{x^{\frac{5}{9}}}=-4}$ par ${\displaystyle x^{\frac{5}{9}}}$.

Simplifiez le côté gauche.

Réécrivez l’équation comme ${\displaystyle -4x^{\frac{5}{9}}=-4}$.

Divisez chaque terme dans ${\displaystyle -4x^{\frac{5}{9}}=-4}$ par ${\displaystyle -4}$ et simplifiez.

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance ${\displaystyle \frac{9}{5}}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

Simplifiez l’exposant.

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance ${\displaystyle 9}$.

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Résolvez ${\displaystyle x}$.

Simplifiez chaque terme.

Soustrayez ${\displaystyle 9}$ de ${\displaystyle 4}$.

La réponse finale est ${\displaystyle -5}$.

Réécrivez ${\displaystyle 0}$ comme ${\displaystyle 0^9}$.

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${\displaystyle {\left(a^m\right)}^n=a^{mn}}$.

Annulez le facteur commun.

Réécrivez l’expression.

L’élévation de ${\displaystyle 0}$ à toute puissance positive produit ${\displaystyle 0}$.

Multipliez ${\displaystyle 9}$ par ${\displaystyle 0}$.

L’expression contient une division par ${\displaystyle 0}$. L’expression est indéfinie.

Remplacez la variable ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle -2}$ dans l’expression.

La réponse finale est ${\displaystyle 4-\frac{4}{{(-2)}^{\frac{5}{9}}}}$.

Remplacez la variable ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 0.5}$ dans l’expression.

Simplifiez le résultat.

Remplacez la variable ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 4}$ dans l’expression.