Calcul infinitésimal Exemples

$y = 450 x - 0.25 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $y = 450 x - 0.25 x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = 450 x - 0.25 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $450 x - 0.25 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [450 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $450$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $450 x$ par rapport à $x$ est $450 \frac{d}{d x} [x]$ .

$450 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$450 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $450$ par $1$ .

$450 + \frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 0.25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.25 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 0.25 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$450 - 0.25 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$450 - 0.25 (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 0.25$ .

$450 - 0.75 x^{2}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 0.75 x^{2} + 450$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 0.75 x^{2} + 450$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 0.75 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.75 x^{2}) + \frac{d}{d x} (450)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.75 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 0.75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.75 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.75 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 0.75 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (450)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 0.75 (2 x) + \frac{d}{d x} (450)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 0.75$ .

$f'' (x) = - 1.5 x + \frac{d}{d x} (450)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $450$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $450$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 1.5 x + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 1.5 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 1.5 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 0.75 x^{2} + 450 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $450 x - 0.25 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (- 0.25 x^{3})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [450 x]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $450$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $450 x$ par rapport à $x$ est $450 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 450 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.25 x^{3})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 450 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 0.25 x^{3})$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $450$ par $1$ .

$f' (x) = 450 + \frac{d}{d x} (- 0.25 x^{3})$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.25 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 0.25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.25 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 0.25 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 450 - 0.25 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 450 - 0.25 (3 x^{2})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 0.25$ .

$f' (x) = 450 - 0.75 x^{2}$

Étape 5.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 0.75 x^{2} + 450$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 0.75 x^{2} + 450$ .

$- 0.75 x^{2} + 450$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 0.75 x^{2} + 450 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 0.75 x^{2} + 450 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $450$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.75 x^{2} = - 450$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- 0.75 x^{2} = - 450$ par $- 0.75$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 0.75 x^{2} = - 450$ par $- 0.75$ .

$\frac{- 0.75 x^{2}}{- 0.75} = \frac{- 450}{- 0.75}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.75$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.75 x^{2}}{- 0.75} = \frac{- 450}{- 0.75}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 450}{- 0.75}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $- 450$ par $- 0.75$ .

$x^{2} = 600$

Étape 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{600}$

Étape 6.5

Simplifiez $\pm \sqrt{600}$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez $600$ comme $10^{2} \cdot 6$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $100$ à partir de $600$ .

$x = \pm \sqrt{100 (6)}$

Étape 6.5.1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}$

Étape 6.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 10 \sqrt{6}$

Étape 6.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 10 \sqrt{6}$

Étape 6.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 10 \sqrt{6}$

Étape 6.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10 \sqrt{6}, - 10 \sqrt{6}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 10 \sqrt{6}, - 10 \sqrt{6}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 10 \sqrt{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 1.5 (10 \sqrt{6})$

Étape 10

Multipliez $- 1.5 (10 \sqrt{6})$ .

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Étape 10.1

Multipliez $10$ par $- 1.5$ .

$- 15 \sqrt{6}$

Étape 10.2

Multipliez $- 15$ par $\sqrt{6}$ .

$- 36.74234614$

Étape 11

$x = 10 \sqrt{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 10 \sqrt{6}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 10 \sqrt{6}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $10 \sqrt{6}$ dans l’expression.

$f (10 \sqrt{6}) = 450 (10 \sqrt{6}) - 0.25 {(10 \sqrt{6})}^{3}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $10$ par $450$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 {(10 \sqrt{6})}^{3}$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{6}$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (10^{3} {\sqrt{6}}^{3})$

Étape 12.2.1.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (1000 {\sqrt{6}}^{3})$

Étape 12.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (1000 \sqrt{6^{3}})$

Étape 12.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (1000 \sqrt{216})$

Étape 12.2.1.6

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 12.2.1.6.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (1000 \sqrt{36 (6)})$

Étape 12.2.1.6.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (1000 \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

Étape 12.2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (1000 (6 \sqrt{6}))$

Étape 12.2.1.8

Multipliez $6$ par $1000$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 0.25 (6000 \sqrt{6})$

Étape 12.2.1.9

Multipliez $- 0.25 (6000 \sqrt{6})$ .

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Étape 12.2.1.9.1

Multipliez $6000$ par $- 0.25$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 1500 \sqrt{6}$

Étape 12.2.1.9.2

Multipliez $- 1500$ par $\sqrt{6}$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 4500 \sqrt{6} - 3674.23461417$

Étape 12.2.2

Soustrayez $3674.23461417$ de $4500 \sqrt{6}$ .

$f (10 \sqrt{6}) = 7348.46922834$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $7348.46922834$ .

$y = 7348.46922834$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 10 \sqrt{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 1.5 (- 10 \sqrt{6})$

Étape 14

Multipliez $- 1.5 (- 10 \sqrt{6})$ .

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Étape 14.1

Multipliez $- 10$ par $- 1.5$ .

$15 \sqrt{6}$

Étape 14.2

Multipliez $15$ par $\sqrt{6}$ .

$36.74234614$

Étape 15

$x = - 10 \sqrt{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 10 \sqrt{6}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 10 \sqrt{6}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10 \sqrt{6}$ dans l’expression.

$f (- 10 \sqrt{6}) = 450 (- 10 \sqrt{6}) - 0.25 {(- 10 \sqrt{6})}^{3}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Multipliez $- 10$ par $450$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 {(- 10 \sqrt{6})}^{3}$

Étape 16.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 10 \sqrt{6}$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 ({(- 10)}^{3} {\sqrt{6}}^{3})$

Étape 16.2.1.3

Élevez $- 10$ à la puissance $3$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 (- 1000 {\sqrt{6}}^{3})$

Étape 16.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 (- 1000 \sqrt{6^{3}})$

Étape 16.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 (- 1000 \sqrt{216})$

Étape 16.2.1.6

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 16.2.1.6.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 (- 1000 \sqrt{36 (6)})$

Étape 16.2.1.6.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 (- 1000 \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

Étape 16.2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 (- 1000 (6 \sqrt{6}))$

Étape 16.2.1.8

Multipliez $6$ par $- 1000$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} - 0.25 (- 6000 \sqrt{6})$

Étape 16.2.1.9

Multipliez $- 0.25 (- 6000 \sqrt{6})$ .

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Étape 16.2.1.9.1

Multipliez $- 6000$ par $- 0.25$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} + 1500 \sqrt{6}$

Étape 16.2.1.9.2

Multipliez $1500$ par $\sqrt{6}$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 4500 \sqrt{6} + 3674.23461417$

Étape 16.2.2

Additionnez $- 4500 \sqrt{6}$ et $3674.23461417$ .

$f (- 10 \sqrt{6}) = - 7348.46922834$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 7348.46922834$ .

$y = - 7348.46922834$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 450 x - 0.25 x^{3}$ .

$(10 \sqrt{6}, 7348.46922834)$ est un maximum local

$(- 10 \sqrt{6}, - 7348.46922834)$ est un minimum local

Étape 18